Geometria Analitica

ORIGENES DE LA GEOMETRIA

En el año de 1637 publicó Rene Descartes (1596-1650) su geometrie, dividida en tres libros, de los cuales dedica el segundo a lo que se ha llamado Geometría Analítica, y de la cual se ha dicho, con toda exactitud, que ha hecho época. En ella establece el enlace entre el número y el espacio, y aunque su importancia sólo se evidenció años más tarde, su publicación influyó en forma decisiva en el desarrollo de todas las ramas de las ciencias exactas, específicamente el con la nueva simbólica de preconiza.

Es opinión generalmente admitida entre los matemáticos que la Geometría Analítica brotó completamente elaborada, adulta, de la cabeza de Descartes. Sin embargo, hay discrepancias entre los sabios a este respecto. “Algunos autores han escrito, otros lo han repetido y se repite constantemente, que Descartes es el inventor de la aplicación del Álgebra a la geometría. Esto no es exacto. Se atribuye a Descartes más de lo que pudiera pretender”. A pesar del merito indiscutible de este matemático, no pude aceptarse lo que la géométrie dice M. Charles (1793-1880) al llamarla criatura generada sin madre, pues con tal afirmación se olvidan demasiado los derechos de sus antecesores, y de F. Viete (1540-1603) en particular, en cuyas obras hay aplicaciones del Álgebra a la Geometría.

ORIGENES DE LAS COORDENADAS

Si se entiende al uso de coordenadas para localizar un punto, los albores de la Geometría Analítica se remontan a Arquímedes (287-212 a. de J.C.) y a Apolonio de Perga (siglo II a. de J.C.) y, cerca de 18 siglos después, a J. Képler (1571-1630), pues para el estudio de las cónicas se valían ya, sustancialmente, de las coordenadas (cartesianas) refiriéndose, empero, a ejes intrínsecamente conectados con la curva estudiada.

Algo mejor relacionado con el concepto moderno de las coordenadas se encuentra en un dibujo del siglo X u XI, de autor desconocido, al hacer el estudio de las trayectorias de los planetas, en el cual representa la latitud y la longitud, respectivamente, como ordenada y abscisa. Este método de representación, que fue adoptado en Astronomía y aún se usaba en el siglo XIV, dio lugar a una obra, notable para aquella época, de N. Oresme (1323-1382), obispo de Lisieux, intitulada Tractatus de latitudinibus formarum, escrita en 1361. En este trabajo se reconoce la verdadera aparición de la Geometría Analítica, a la vez que un primer germen del concepto de función y hasta de derivada. Allí se halla la idea de la representación gráfica por medio de coordenadas rectangulares, de las funciones, que Oresme en latín denomina Formae. Considera dos magnitudes, llamadas lonjitudo y latitudo: la primera la considera como variable que depende de la primera. La latitudo puede ser uniformis o difformis: en el primer caso la gráfica correspondiente es una recta paralela al eje escogido, o sea la latitudo es difformis, puede tenerse una latitudo secundum se totam difformis, si la gráfica consta de una línea única, o bien latitudo secundum partem difformis, si consta de porciones distintas, algunas de las cuales son rectas paralelas al eje.

La actitud de Oresme no es la de un creador de las ideas que expone, pues parece atribuirlas a autores antiguos, para nosotros completamente desconocidos.

ESTUDIO DE LAS CURVAS: PARABOLA, ELIPSE E HIPERBOLA

Si en la Geometría Analítica se considera el estudio particularizado de las tres grandes curvas: parábola, elipse e hipérbola, debería hacerse remontar esta ciencia a Menaicmo (siglo IV a. de J.C.), a quien se atribuye la invención de dichas curvas, que constituyen lo que se ha denominado la tríade de Menaicmo.

En realidad, los nombres con los que se citaban a estas curvas ya existían y fueron creados por los pitagóricos. Estos al resolver el problema que denominaron aplicación de las superficies planas, introdujeron las palabras parábola, elipse e hipérbola según que en la aplicación de dichas superficies hubiese igualdad, deficiencia y exceso respectivamente.

Posteriormente a Menaícmo, Arquímedes amplió el campo del estudio de esas tres curvas; Apolonio de Perga concibió las secciones cónicas, determinadas no ya únicamente, según se presume lo había hecho Menaícmo, en un como recto rectangular, o cono cuyas generatrices opuestas se cortan en ángulo recto, sino como resultantes de la intersección de un plano con un cono circular cualquiera, ya sea rectangular o no.

En la obra de Apolonio, que él denominó Secciones Cónicas, se encuentra la afirmación de que, en el plano, el lugar de un punto (móvil) cuyas distancias a dos puntos fijos dan una suma o una diferencia constante, es una elipse o una hipérbola, que tiene como focos esos puntos fijos.

El mismo Apolonio aclara que una tangente a la elipse deja los dos focos de un mismo lado de dicha tangente, y que en la hipérbola quedan uno de un lado y el otro del otro lado.

La primera propiedad notable relativa a las cónicas, enunciada por Apolonio y que se acaba de citar, fue tomada por F. de la Hire (1640-1718) como definición de las curvas que tienen el centro, y de la segunda se ideó la manera de describir la elipse por trazo continuo. Esta construcción la indicó por primera vez el bizantino Antemio (siglo VI).

Otro gran matemático, P. de Fermat (1601-1665), contemporáneo de Descartes y por éste admirado, había ideado, a su vez, la Geometría Analítica. Sus trabajos relacionados con ella se remontan al año 1629, es decir, procedieron la publicación de la Géométrie.

Fermat publica una obra llamada introducción al estudio de los lugares planos y sólidos. Esta obra de Fermat, es de gran importancia, pues enseña a interpretar ecuaciones sencillas con dos variables, considerando rectas, elipses, parábolas e hipérbolas.

ORIGENES DE LOS EJES, ABSCISAS, ORDENADAS Y COORDENADAS

Volviendo a Descartes y a su obra, justo es hacer notar que un punto de vista y su técnica, relativamente a la Geometría Analítica, son incomparablemente más adelantados que los de Fernat. Con respecto a la Géométrie, observa J. E. Montucla (1725-1799) que “Descartes no ha pretendido componer un trabajo didáctico; se limita a trazar a los matemáticos el camino que han de recorrer, y en su libro no hay ni orden ni desarrollos: sólo son ideas de un hombre de genio, que no sigue la marcha de los espíritus ordinarios”.

Pero, aunque en la Géométrie sólo se contenga un primer ensayo de la Geometría Analítica, corresponde al gran Cartesio el mérito de haber abierto el camino a nuevos métodos, por lo cual ha sido mirado siempre como una obra que ha hecho época y como un instrumento

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