Pueblos Indigenas

Congruencias y semejanzas de figuras planas Srta. Yanira Castro Lizana

¿Cómo son las figuras mostradas? Son idénticas

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Ejemplos de Congruencia ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS SI SON FIGURAS CONGRUENTES ESTAS NO SON FIGURAS CONGRUNTES

Congruencia

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Dos figuras son congruentes cuando tienen la misma forma y tamaño, es decir, si al colocarlas una sobre otra son coincidentes en toda su extensi ó n.

Criterios de congruencia

Triángulos congruentes

Dos triángulos son congruentes si y sólo si sus partes correspondientes son congruentes.

A B C D E F ABC  DEF

Definición: Dos triángulos ABC y DEF son correspondientes si:

Sus lados correspondientes son iguales

Sus ángulos correspondiente son iguales.

En la figura

POSTULADOS DE CONGRUENCIA

Criterio LLL : Si en dos triángulos los tres lados de uno son respectivamente congruentes con los de otro, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LAL : Si los lados que forman a un ángulo, y éste, son congruentes con dos lados y el ángulo comprendido por estos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio ALA : Si dos ángulos y el lado entre ellos son respectivamente congruentes con dos ángulos y el lado entre ellos de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

Criterio LLA : Si el lado más largo del triangulo, junto con otro lado de éste, y el ángulo superior del lado más largo del triángulo son congruentes con los del otro triangulo, entonces los triángulos son congruentes.

Postulado LLL

Si los lados de un triángulo son congruentes con los lados de un segundo triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

A B C D E F ABC  DEF

Postulado ALA

Si dos ángulos y el lado incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

A B C D E ABC  CDE

Postulado AAL

Si dos ángulos y el lado no incluido de un triángulo son congruentes con dos ángulos y el lado no incluido de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

A B C D E ABC  EFD F

Postulado LAL

Si dos lados y el ángulo incluido de un triángulo son congruentes a dos lados y el ángulo incluido de otro triángulo, entonces los dos triángulos son congruentes.

A B C D E ABC  DEF F

Ejemplos:

1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes?

2) Dado el triángulo rectángulo de lados a,b y c, se han construido las figuras que están a sus lados copiándolo varias veces y colocándolo en diferentes posiciones.

Analiza los ángulos que son congruentes en las distintas posiciones. ¿Podrías deducir que el cuadrado que se forma es congruente en ambas figuras?

PROPORCIONALIDAD DE SEGMENTOS

TEOREMA DE THALES

TEOREMA DE THALES

A B C BASE MEDIA PROPIEDAD M N

FIGURAS SEMEJANTES

¿Cómo son las figuras mostradas? Son proporcionales Son semejantes

Semejanza

Dos figuras que tienen la misma forma, aun con diferentes dimensiones, se llaman semejantes.

Dos figuras son semejantes si sus ángulos correspondientes son iguales y sus lados correspondientes proporcionales.

Los elementos que se corresponden (puntos, segmentos, ángulos …) se llaman homólogos.

Dos figuras del plano son semejantes si los cocientes de de los segmentos determinados por pares cualesquiera de puntos correspondientes son iguales.

es la razón de semejanza

Dos triángulos son semejantes si tienen los lados proporcionales y los ángulos iguales. El cociente se llama razón de semejanza.

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Dado un triángulo de lados 4m, 5m y 6m. Multiplica cada uno de los lados por 3. Los lados del triángulo se han triplicado. x 3 4m 5m 6m A B C 18m 15m 12m P Q R

Identificamos algunos elementos : RAZÓN DE SEMEJANZA : 3 LADOS HOMÓLOGOS : AB BC AC Si la altura relativa al lado AC mide a, podemos afirmar que la altura relativa a su lado homólogo PR mide 3a. Además: Cualquier longitud (lados y líneas notables) en el triángulo ABC se triplica en el triángulo PQR. PQ QR PR

 ¿Cuál es el símbolo que se utiliza para representar la semejanza de dos triángulos?

Es necesario ubicarse a una distancia tal que mirando con un solo ojo queden alineados el extremo superior del árbol y el de la vara de longitud conocida.

Distancias o alturas aplicando semejanza

Los dibujos siguientes ilustran diversas maneras, utilizadas habitualmente por las guías y scouts, para estimar alturas y distancias, recurriendo a la semejanza de triángulos.

En este caso, es necesario que la persona pueda observar el extremo superior del árbol reflejado en el espejo.

CASOS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS

Criterios de semejanza de triángulos

existen algunos principios que nos permiten determinar si dos triángulos son semejantes sin necesidad de medir y comparar todos sus lados

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