Álgebra Lineal

I N T R O D U C C I O N

En el presente trabajo se detalla un resumen general de la materia Álgebra Lineal , en el cual se tratara de

enlazar las relaciones de todos los temas vistos en él transcurso del ciclo.

Por ejemplo, dimensión y espacio vectorial, combinación lineal y matrices n x m, y otros temas están

ampliamente relacionados igual que otros temas que veremos en el transcurso de este trabajo.

Tratar de enlazar los temas de la presente asignatura fue satisfactorio ya que así nos damos cuenta de que

tanto necesitamos aprender los temas anteriores para poder resolver los nuevos problemas, sin tener una buena

base de los temas estudiados en el transcurso del trabajo no podríamos realizar los problemas de otros temas

no presentes en este trabajo ejemplo los valores y vectores propios en este se necesita que se domine casi todo

este trabajo para poder entender y poder analizar este tema ya que están grandemente relacionados .

También tratamos de sacar la esencia de cada tema y darles una vista relativamente rapida pero completa, ya

que este trabajo esta propuesto para enseñar brevemente pero ampliamente los temas en este..

ESTRUCTURAS ALGEBRAICAS

Una estructura algebraica es un conjunto de operaciones binarias, esta se representan <A, operación>, <{a, b,

c}, operación>, así se representan las estructuras algebraicas sencillas, las dobles se representan <conjunto,

1o. operación, 2o. operación>.

Una operacion binaria es cuando dos conjuntos se operan entre si y el resultado de esta operación da un tercer

conjunto.

Tabla de Cayley es una tabla que contiene filas y columnas, para poder trabajar con estas tablas se necesitan

dos conjuntos finitos ejemplo:

A{1,2,3} y B{4,5,6}

C = A x B ! C donde x es una multiplicación ordinaria.

x 4 5 6

1 4 5 6

2 8 10 12

3 12 15 18

Donde c ={4,5,6,8,10,12,15,18}

ESTRUCTURA ALGEBRAICA:

Estos se pueden clasificar según la cantidad de operaciones que tengan.

Según las leyes que cumplan Las estructuras algebraicas de una operación asi tienen un nombre en particular

así:

Si cumple la ley de cierre se le denomina como estructura algebraica monoide.

Si cumple la de cierre y la asociativa es un semigrupo.

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Si cumple la de cierre, la asociativa y la ley de identidad es un semi grupo con identidad.

Si cumple la de cierre, la asociativa, la de identidad e la inversa es un grupo.

Si cumple ser grupo mas la ley conmutativa es un grupo abeliano.

Mientras que las estructuras algebraicas de dos operaciones, pueden ser:

Anillos, divisor cero, dominio entero o cuerpo o campo.

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sea anillo esta debe analizarse separadamente y así se

clasifica:

· para que sea anillo la primera operación debe de ser grupo abeliano como lo vimos anteriormente.

Luego debemos de ver si las dos operaciones son compatibles y esto se hace haciendo que la segunda

operación de distribuya en la primera operación.

·

Si los dos primeros pasos se cumplen entonces empezaremos a operar la segunda operación tomando en

cuenta que:

·

Si la primera operación es grupo abeliano y la segunda operación es grupo entonces este será un anillo.

Si la segunda operación es un semigrupo este será anillo conmutativo o abeliano.

Si la segunda operación es un semigrupo con identidad es un anillo con identidad.

Así se clasifica un anillo.

Para que una estructura algebraica sea divisor cero este debe de cumplir que X y Y que pertenecen un

conjunto B entonces X y Y tienen que ser distintos al elemento neutro de la primera operación y al ser

operados con la segunda operación este tiene que dar de resultado el elemento neutro de la primera operación

por ejemplo:

Para la operación <A, +, x> donde X y Y pertenecen al conjunto A y que + es la suma ordinaria y x la

multiplicación ordinaria entonces deberíamos tener que X  Y " 0 ya que cero es el elemento neutro de la

primera operación y X y Y deben de ser distintos de cero y al multiplicar X y Y esta operación debe de dar el

elemento neutro de la primera operación. Por lo tanto esta estructura algebraica no es un divisor cero.

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sea Dominio Entero se dice que primero debe de ser

anillo abeliano con identidad y cumplir que X y Y deben de pertenecer a un conjunto B y que si al operar la

segunda operación debe de dar el elemento neutro de la primera operación y que X o Y tiene que ser igual al

elemento neutro de la primera operación ejemplo:

<A, +, x> donde X y Y pertenecen al conjunto A entonces X x Y = 0 si X o Y = 0.

Para que una estructura algebraica de dos operaciones sean cuerpo o campo este tiene que ser primero un

dominio entero como lo vimos anteriormente y que todo elemento de la segunda operación tiene un inverso

menos el elemento neutro de la primera operación.

Propiedades de la operaciones:

Ley de cierre: esta dice que al operar dos elementos el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la

operación.

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Elemento inverso o Identidad: este dice que un elemento operado con el neutro de la operación esta debe de

dar de resultado el elemento ejemplo: el elemento neutro de la suma es el 0 entonces a + 0 = a y 0 + a = 0.

Elemento inverso: este es aquel que al ser operado con cualquier elemento este debe de dar de resultado el

elemento neutro de la operación ejemplo: el elemento inverso de la suma es la resta entonces a + (−a) = 0 y

(−a) + a = 0.

Ley asociativa: este dice que los elementos se pueden asociar sin alterar el resultado ejemplo: (a + b) + c = a +

(b + c)=d.

Ley conmutativa: este dice que el orden de los elementos no altera el producto ejemplo:

a + b = b + a = c.

ESPACIOS VECTORIALES

Espacio euclidiano o Espacio vectorial:

Un espacio euclidiano es el conjunto de n−adas ordenadas, tambien conocido por espacio n−dimencional y de

denota por Rn este es una sucesión de n números reales ejemplo (a1,a2,...,an) donde los vectores Rn se

clasifican así:

R1 = espacio unidimensional, línea recta real.

R2 = espacio bidimensional, pares ordenados.

R3 = espacio tridimensional, terna ordenadas.

.......

Rn = espacio n−dimencional, n−adas ordenadas.

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