Concepto De Probabilidad

3.1.2. Concepto de probabilidad

Introducción

En ocasiones cuando se habla de probabilidad de que un evento ocurra, se pierde la credibilidad acerca del evento en cuestión, es muy difícil tenerla, debido a que el llevar a efecto un proyecto cualquiera por más simple que este sea, éste está sujeto a una gran diversidad de factores que afectan su ocurrencia, la probabilidad es la que nos ayuda en estos casos, ya que basándose en estadísticas, podemos cuantificar la posibilidad de ocurrencia de los eventos y por consiguiente tomar una buena decisión basados en esta información.

El concepto o idea que generalmente se tiene del término probabilidad es adquirido de forma intuitiva, siendo suficiente para manejarlo en la vida corriente.

Nos interesa ahora la medida numérica de la posibilidad de que ocurra un suceso A cuando se realiza el experimento aleatorio. A esta medida la llamaremos probabilidad del suceso A y la representaremos por p(A).

La probabilidad es una medida sobre la escala 0 a 1 de tal forma que:

• Al suceso imposible le corresponde el valor 0

• Al suceso seguro le corresponde el valor 1

• El resto de sucesos tendrán una probabilidad comprendida entre 0 y 1

El concepto de probabilidad no es único, pues se puede considerar desde distintos puntos de vista:

• El punto de vista objetivo

• Definición clásica o a priori

• Definición frecuentista o a posteriori

Desarrollo

La probabilidad es el medio por el cual a partir de la información contenida en una muestra tomamos decisiones o hacemos afirmaciones que se refieren a toda una población mediante el proceso llamado

Inferencia estadística.

Si un experimento aleatorio puede concluir de n maneras mutuamente excluyentes e igualmente posibles y m de estas n maneras poseen una característica A, la probabilidad de A esta dad por m/n.

Es conveniente conocer algunas de las propiedades básicas del cálculo de probabilidades:

Para un suceso A, la probabilidad de que suceda su complementario (o equivalentemente, de que no suceda A) es igual a uno menos la probabilidad de A:

P(A)+P(A ̅ )=1→P(A ̅ )=1-P(A)

donde denota al suceso contrario o suceso complementario de A.

Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B mutuamente excluyentes (es decir, que no pueden darse de forma simultánea, como ocurre en el lanzamiento de una moneda al aire), la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra se calcula como la suma de las dos probabilidades individuales:

P(A o B)=P(A)+P(B)

La extensión de la ley aditiva anterior al caso de más de dos sucesos mutuamente excluyentes A, B, C... indica que:

P(A o B o C o…)=P(A)+P(B)+P(C)+...

Consideremos, como ejemplo, un servicio de urología en el que el 38,2% de los pacientes a los que se les practica una biopsia prostática presentan una hiperplasia benigna (HB), el 18,2% prostatitis (PR) y en un 43,6% el diagnóstico es de cáncer (C). La probabilidad de que en un paciente que se somete a una biopsia de próstata no se confirme el diagnóstico de cáncer prostático será igual a:

P(HB o PR)=P(HB)+P(PR)=0,382+0,182=0,564

Es decir, en un 56,4% de los casos se logra descartar un diagnóstico maligno. De modo equivalente, la probabilidad anterior podría haberse calculado como la probabilidad del suceso contrario al del diagnóstico de cáncer:

P(HB o PR)=P(C ̅ )=1-P(C)=1-0,436=0,564

Nótese la importancia del hecho de que los sucesos anteriores sean mutuamente excluyentes. Sin esta condición, la ley de adición no será válida. Por ejemplo, se sabe que en una determinada Unidad de Cuidados Intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientes que ingresan lo hacen con una infección adquirida en el exterior, mientras que el 13,7% adquieren una infección durante su estancia en el hospital. Se conoce además que el 1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan una infección de ambos tipos. ¿Cuál será entonces la probabilidad de que un determinado paciente presente una infección de cualquier tipo en UCI? Para realizar el cálculo, si se suman simplemente las probabilidades individuales (0,069+0,137) la probabilidad de un suceso doble (infección comunitaria y nosocomial) se estará evaluando dos veces, la primera como parte de la probabilidad de padecer una infección comunitaria y la segunda como parte de la probabilidad de adquirir una infección en la UCI. Para obtener la respuesta correcta se debe restar la probabilidad del doble suceso. Así:

Si un fenómeno determinado tiene dos posibles resultados A y B, la probabilidad de que una de esas dos posibilidades ocurra viene dada, en general, por la expresión:

P(A o B)=P(A)+P(B)-P(A y B)

Por lo tanto, si dos o más sucesos no son mutuamente excluyentes, la probabilidad de que ocurra uno de ellos o ambos se calcula sumando las probabilidades individuales de que ocurra una de esas circunstancia, pero restando la probabilidad de que ocurra la común.

Resulta evidente que, para el caso de procesos mutuamente excluyentes, P(A y B)=0 y se obtiene (1).

En el ejemplo anterior, la probabilidad de infección en UCI vendrá dada, por lo tanto, como:

P(A o B)=0,069+0,137-0,015=0,191

Es decir, 19 de cada 100 enfermos registrará alguna infección (ya sea de tipo comunitario o nosocomial) durante su ingreso en la citada unidad.

A veces, la probabilidad de que un determinado suceso tenga lugar depende de que otro suceso se haya producido o no con anterioridad. Esto es, en ocasiones el hecho de que se produzca un determinado fenómeno puede hacer más o menos probable la aparición de otro. Este tipo de probabilidades se denominan probabilidades condicionadas, y se denotará por P(A/B) a la probabilidad condicionada del suceso A suponiendo que el suceso B haya ocurrido ya.

La ley multiplicativa de probabilidades indica que la probabilidad de que dos sucesos A y B ocurran simultáneamente es igual a:

P(A y B)=P(A/B) .P(B)

La ley multiplicativa anterior se utiliza también con el fin de determinar una probabilidad condicional P(A/B) a partir de los valores de P(A y B) y P(B):

P(A/B)=(P(A y B))/(P(B))

Supongamos, por ejemplo, que queremos estudiar la incidencia del hecho de ser fumador como factor de riesgo en el desarrollo de una enfermedad en una determinada población. Para ello se diseñó un estudio prospectivo y, tras seleccionar una muestra de 180 sujetos, los resultados son los que se muestran en la. Considerando toda la muestra, la probabilidad de desarrollar la enfermedad (E) en la población de

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