Ecuaciones Lineales

Ecuación de primer grado

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal significa que es un planteamiento de igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra solamente sumas y restas de una variable a la primera potEn una incógnita[editar]

Una ecuación de una variable mx + n = 0 definida sobre un cuerpo \mathbb{K}, es decir, con \{m,n,x\} \subset \mathbb{K}, m\neq 0 donde x es la variable, admite la siguiente solución:

x = - \frac{n}{m}

Cuando tanto la incógnita como los coeficientes son elementos de un anillo que no es un cuerpo, el asunto es más complicado ya que sólo existirán soluciones cuando m divide a n:

\exists k: n = m\cdot k \Rightarrow x = -k

En dos incógnitas[editar]

En el sistema cartesiano representan rectas. Una forma común de las ecuaciones lineales de dos variables es:

y = m x + n ;

Donde m representa la pendiente y el valor de n determina el punto donde la recta corta al eje Y (la ordenada al origen).

Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

3x + 2y = 5

3x + y -5 = -7x + 4y +3

x - y + z = 15

3x - 2y + z = 20

x + 4y - 3z = 10

Formas alternativas[editar]

Formas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas más simples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.

Ecuación general

Ax + By + C = 0

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde x e y se anulan.

Ecuación segmentaria o simétrica

\frac{x}{E} + \frac{y}{F} = 1

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y F respectivamente.

Forma paramétrica

x = Ut + x_0

y = Vt + y_0

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando. En esta representación puede afirmarse que la recta pasa por el punto (x_0, y_0) y forma con el eje de abcisas un ángulo cuya tangente satisface: \tan \alpha = V/U

Casos especiales:

y = F

Un caso especial es la forma estándar donde A = 0 y B = 1 . El gráfico es una línea horizontal sin intersección con el eje X o (si F = 0) coincidente con ese eje.

x = E

Otro caso especial de la forma general donde A = 1 y B = 0 . El gráfico es una línea vertical, interceptando el eje X en E.

0 = 0

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos. La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el plano cartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese

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