LOS NÚMEROS NATURALES.

INTRODUCCIÓN

Desde épocas primitivas, el hombre ha utilizado los dedos de sus manos para contar y para sumar los objetos. Así como un dedo representaba el número 1, tres dedos representaban el número 3, entre otros. Sin embargo, a medida que aumentaron las cantidades que se tenía que contar, fue necesario recurrir a otros métodos.

     Por su parte, los incas hacían nudos en las cuerdas y los llamaban quipus, cada nudo registraba una faja de cereal cortado en la cosecha. Los pastores sumaban sus ovejas marcando el bastón cada 10 ovejas. Asimismo, los egipcios, por su parte, sumaban haciendo huellas en la arena y allí colocaban esferas. Cada esfera en la primera huella de la derecha representaba un objeto; cada esfera en la segunda, diez objetos; cada esfera en la tercera, 100 objetos, y así sucesivamente. Por ello, estos tipos de suma tienen cierta similitud y dan nacimiento al instrumento de cálculo más antiguo de la humanidad, que es el ábaco.

Sin embargo, el hombre tuvo la necesidad de ordenar conjuntos y saber la cantidad de elementos que los conformaban. Por tal motivo, se debían representar las cantidades para negociar y ordenar cosas para saber lo que se tenía y con qué se contaba exactamente. De allí surgió la idea de crear símbolos que representaran esas cantidades, lo que originó a los números naturales en las distintas civilizaciones, debido a que contar y ordenar elementos son las tareas más elementales en el tratamiento de las cantidades.

LOS NÚMEROS NATURALES

     En matemática, un número natural es cualquiera de los números que se usan para contar los elementos de un conjunto como también en operaciones elementales de cálculo. Puesto que los números naturales se utilizan para contar elementos, el cero puede considerarse el número que corresponde a la ausencia de los mismos. Los números naturales pueden usarse para contar (una manzana, dos manzanas, tres manzanas, …). Por lo tanto, un número natural, es el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

       Los números naturales son infinitos y el conjunto de todos ellos se designa por N: N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}. Sin embargo, el número cero, a veces se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un conjunto: 1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

      Cabe mencionar, que los números naturales son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades, es decir, entre los números naturales están definidas las operaciones adición y multiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos números naturales es también un número natural, por lo que se dice que son operaciones internas.

      Sin embargo, la sustracción, no es una operación interna en N, pues la diferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el sustraendo es mayor que el minuendo).

     Por esta razón, se crea el conjunto Z de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro, cualesquiera que sean éstos. Asimismo, la división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando el dividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de los números racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvo por el cero).

      Entonces, si se suma dos números naturales, el resultado siempre será otro número natural y lo mismo ocurre cuando se multiplica, pero cuando se resta dos números naturales el resultado no siempre será otro número natural, al igual con la división.

      Por ejemplo, al intentar restar 33 menos 88,  no es posible representar el resultado de esta operación con algún número natural, porque el resultado de esa operación arroja un número negativo, es decir, 33 – 88 = - 55. Debido a lo anterior,  se considera sobre el conjunto de los números naturales solo dos operaciones: la suma y la multiplicación. 

El primer natural

Los números naturales, sirven para representar la cantidad de elementos que tiene un determinado conjunto, es decir, se toma el conjunto de los naturales o N a partir del 0, pues este número representa la cantidad de elementos que tiene el conjunto vacío, por ende no todos los conjuntos tienen un primer elemento.  Esta propiedad es una de las más importantes del conjunto de los números naturales.

El sucesor de un número natural

Otra propiedad importante de este conjunto de números es que cada uno de sus elementos tiene un sucesor.  Es decir, si se toma como referencia determinado número natural, se puede saber cuál es el siguiente y tener la certeza que entre el número y su siguiente no habrá ningún otro.  Por ejemplo, si se toma como referencia el 66, se sabe que su sucesor será el 67 y entre estos dos números no se encontrará ningún otro.

Cabe agregar que, las relaciones de orden son muy importantes en matemáticaen cuanto a su función de representar cantidades, ya que existen unos números naturales que representan más que otros. Entonces se dice que, hay números naturales mayores o menores que otros, esta relación es llamada orden.

   Por su parte, para representar que un número es mayor que otro se usa  el símbolo "mayor que", >, de la siguiente manera: se ubica el número mayor  al lado abierto del símbolo   >, y el número menor se coloca al otro lado.

 Por ejemplo, el número 3 y el número 5; el número 5representa una mayor cantidad de elementos que el número 3.  Es por ello, que se debe escribir por lo tanto 5>3, y esta expresión debe ser leída como "cinco es mayor que tres".También se usa el símbolo <, que es leído como "menor que"; se puede entonces representar la relación 5 > 3, o así: 3 < 5  que debe ser leída como "tres es menor que cinco". 

Propiedad Conmutativa y Asociativa de los números naturales

La propiedad conmutativa o conmutatividad, es una propiedad fundamental que tienen algunas operaciones según la cual el resultado de operar dos elementos no depende del orden en que se toman. Esto se cumple en la adición y la multiplicación ordinaria: el orden de los sumandos no altera la suma, o el orden de los factores no altera el producto. Así, por ejemplo,2 + 3 = 3 + 2, y 4 × 5 = 5 × 4.

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