MATEMATICAS

TALLER DE MATEMÁTICAS

Para la función f, cuya gráfica se muestra, determine:

¿Existe f(1)? Si existe, ¿Cuál es su imagen?

RTA: Es posible ver en la gráfica que la función está definida para x=1. Por lo tanto, f(1) existe y es f(1)=1.

Calcular 〖lim〗┬(x→1)⁡〖f(x).〗

RTA: Para calcular este límite calculamos los límites laterales:

lim┬(x→1^+ )⁡〖f(x)〗=1

lim┬(x→1^- )⁡〖f(x)〗=2

Ya que los límites laterales son distintos entonces, lim┬(x→1)⁡f(x) no existe.

¿La función f es continua en x=1? Justifique.

RTA: La función f es discontinua en x=1 ya que los límites laterales son distintos como vimos en el apartado b). Esta función presenta una discontinuidad de salto en el punto x=1.

¿Qué valores debe asignarse a f(2) para que la función sea continua en ese punto?

RTA: Vemos que los siguientes límites laterales:

lim┬(x→2^+ )⁡〖f(x)〗=1

lim┬(x→2^- )⁡〖f(x)〗=1

Son iguales. Entonces:

lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗=1

Además, f(2)=2. Esto quiere decir que f(x) presenta una discontinuidad removible en el punto x=2.

Para que f(x) sea continua en el punto x=2, f(2) debe coincidir con el

lim┬(x→2)⁡〖f(x)〗=1

Esto quiere decir que f(x) es continua en x=2 si f(2)=1.

Calcular 〖lim〗┬(x→0^+ )⁡〖f(x)〗

RTA: Vemos en la gráfica que si nos acercamos en el dominio por la derecha al punto x=0, las imágenes se aproximan a 0. Entonces:

lim┬(x→0^+ )⁡〖f(x)=0〗

Calcular 〖lim〗┬(x→0^- )⁡〖f(x)〗

RTA: Vemos en la gráfica que si nos acercamos en el dominio por la izquierda al punto x=0, las imágenes se aproximan a 0,5. Entonces:

lim┬(x→0^- )⁡〖f(x)〗=0,5

Calcular la derivada de la función y simplifique su respuesta.

Solución

f^' (x)=2 ((2√x)/(2√x +1)){((2√x+1)((2 )/2 x^((-1 )/2) )- (2√x)((2 )/2 x^((-1 )/2) ))/((2√x+1)^2 )┤ ├ ┤}

f^' (x)=2((2√x)/(2√x +1)){((2√x +1) ( x^((-1 )/2) )-(2√x)( x^((-1 )/2)))/((2√x+1)^2 )}

f^' (x)=2((2√x)/(2√x +1)){(((2 x^((1 )/2))/x^((1 )/2) +1/x^((1 )/2) )-((2 x^((1 )/2))/x^((1 )/2) ))/((2√x+1)^2 )}

f^' (x)=2 ((2√x)/(2√x +1))((2+ 1/x^((1 )/2) -2 )/((2√x+1)^2 ))

f^' (x)=2 ((2√x)/(2√x +1))(1/(√x(2√x+1)^2 ))

RESPUESTA

f^' (x)= 4 (1/(2(√x+1 )^3 ))

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