Matematica

NÚMEROS REALES.(IR)

Para nuestros propósitos, entenderemos por un número real a todo número que pueda representarse mediante un decimal de infinitas cifras o un número finito de ellas.℮

(P/E) 3 = 3.0

1/7 = 0.142857142857

1/2 = 0.5

π = 3.14159…

√2 = 1.414012…

℮ = 2.71822…

Al conjunto de todos los números reales lo designaremos por IR y tiene los siguientes términos distinguidos:

0 : llamado número real cero.

1 : llamado número real uno.

Definamos las siguientes leyes de composición interna

+: IRxIR IR adición o suma

(a,b) a+b

●: IRxIR IR

(a,b) a▪b

Nos dice que a+b es un número real únicamente determinado.

Nos dice que a▪b es un número real únicamente determinado.

Los números reales satisfacen los siguientes axiomas:

IR es un conjunto y 0 ∈ IR, 1 ∈ IR y 0 ≠1

Axioma de clausura de la adición.

Axioma de clausura del producto.

Axioma de la suma.

(a + b) + c = a + (b + c) ∀ a,b,c ∈ IR (Asociatividad)

a + b = b + a ∀ a,b ∈ IR (Conmutatividad)

a + 0 = 0 + a = a ∀ a ∈ IR (Propiedad del elemento neutro)

∀ a ∈ IR, ∃! -a ∈ IR tq a + (-a) = (-a) + a = 0 (Propiedad inverso aditivo)

Axioma de la suma.

(a ▪b) ▪ c = a ▪(b ▪ c) ∀ a,b,c ∈ IR (Asociatividad)

a ▪ b = b ▪ a ∀ a,b ∈ IR (Conmutatividad)

a ▪ 1 = 1 ▪ a = a ∀ a ∈ IR (Propiedad del elemento neutro)

∀ a∈ IR – {0}, ∃! a-1 ∈ IR tq a ▪ a-1 = a ▪ a-1 = 1 (Propiedad del elemento inverso).

∀ a, b, c ∈ IR se tiene que: a (b + c) = ab + ac.

Observación: Es claro que los axiomas de clausura no son tan evidentes.

(P/E) P = {n ∈ N / n es impar} es claro que si a ∈ P, b ∈ P a + b ∋ P.

Observación: Es claro que los elementos distinguidos 0 y 1 son únicos. En efecto si 0`∈ R tq a + 0`= a , ∀ a ∈ R

Se tiene que: 0 = 0 + 0`= 0`+ 0 = 0`.

Análogamente se demuestra la unicidad del elemento neutro.

Observación: Si y ∈ IR es el inverso aditivo de x es claro que:

y = -x ⇔ x + y = 0

En consecuencia y = -x ⇔ x = -y o sea x = - (-x)

Análogamente la caracterización del inverso multiplicativo de x-

y = x-1 ⇔ x ▪y = 1 , ∀ x, y ∈ IR – {0}

y = x-1 ⇔ x = y-1 , ∀ x, y ∈ IR – {0}

x = ( x-1)-1 , ∀ x, y ∈ IR – {0}

Teorema: ∀ x, y ∈ IR. Se tiene:

– (x + y) = (-x) + (-y)

(xy)-1 = x-1 y-1

Demostración: trivial.

Observación: Debido a que R verifica todos los axiomas dados anteriormente se dice que R provista de las operaciones suma y producto es un cuerpo: (R, ▪, +)

En general todo conjunto que posea dos operaciones que cumplan todos los axiomas anteriormente señalados se dice que es un cuerpo.

Observación: Por comodidad de notación en adelante escribiremos:

a + (-b) = a – b , ab-1 = a : b = a/b , b≠0.

Teorema: ∀ a ∈ IR, se tiene a ▪ 0 = 0 y (-1) ▪ a = -a

Demostración: 1) Es claro que 0 + 0 = 0 en consecuencia

a ▪ 0 = a(0 + 0) = a▪0 + a▪0 por unicidad del elemento neutro se tiene a▪0 = 0.

2) Es claro que ∀ a ∈ IR a + (-a) = 0 por unicidad inverso aditivo a + (-1) ▪a = a( 1 +(-1)) = a ▪ 0 = 0

∴ (-1)(a) = -a

Corolario: Si a, b son números reales positivos cualesquiera entonces:

a ▪ (-b) = - (ab)

(-a) (-b) = a ▪ b

Demostración: Escribiendo (-b) = (-1)(b), (-a) = (-1)a y (-b) = (-1)b y ocupando las propiedades de la multiplicación se tienen las propiedades pedidas.

Teorema: Si a, b ∈ IR tq a ▪ b = 0 ⇔ a = 0 ν b = 0

Dem.: Trivial.

Teorema: ∀ a, b, c ∈ ℝ se tiene que:

a + b = c + b ⇔ a = c

∀ a, b, c ∈ ℝ se tiene que: ab = cb ⇔ a = c , b≠0.

∀ a, b, c ∈ ℝ se tiene a = b ^ b = c □(⇒┬ ) a = c. (Transitividad de la igualdad).

Dem.: i) (⇒┬)

a = a + 0 = a + (b – b) = (a + b) – b = (c + b) – b = c + (b – b) =

c + 0 = c

(□(⇐┬ )) Trivial.

ii) (⇒┬) ab = cb □(⇒┬ ) ab – cb = 0 □(⇒┬ ) b(a – c) = 0

b = 0 ν (a – c) = 0 como b ≠0 ⇒┬ a – c = 0 ⇔ a = c.

(□(⇐┬ )) (Trivial)

iii) Ejercicio.

Teorema: ∀ a, b ∈ ℝ la ecuación x + a = b tiene por única solución real b + (-a)-

Dem.: Es claro que b +(-a) es solución de la ecuación x + a = b, en efecto b + (-a) + a = b

Obtendremos que es única. Sean x1 ≠ x2 soluciones de la ecuación

∴ x1 + a = b Λ x2 + a = b ⇒┬ x1 = x2

Obs.: Cada número en ℝ tiene un inverso aditivo único.

Basta tomar la ecuación x + a = 0 para cualquier a ∈ ℝ.

Teorema: La ecuación ax = b, a≠0; a, b ∈ ℝ tiene una única solución. Dem. (Tarea).

Es claro que de acuerdo a la propiedad de clausura 1 + 1 = 2,

2 + 1 =3, 3 + 1= 4 , . . .

ℕ = {1, 2, 3, 4, . . . }

ℕ- = {-1, -2, -3, -4, . . .},

ℤ = ℕ-- U {0} U ℕ

Q={admiten representaciones a/b / a, b ∈ ℤ, b≠0}

Proposición: No existe ningún número racional r tq r2 = 2.

Dem.: Supongamos lo contrario ∃ p/q ∈ Q tq (p/q)2 = 2

Sin perdida de generalidad (p,q) ≠1.

P2 =2q2 ⇒┬ p no puede ser impar. En efecto p = 2k + 1, k ∈ ℤ

4k2 + 4k +1 = 2q2 ⇒┬ 2(2k2+2k) +1 = 2q2. El número 2(2k2 + 2k) + 1 es impar, en consecuencia p = 2k ⇒┬ p2=4k2 ⇒┬ 2q2=4k2 ⇒┬ q2 =2k2 o sea q tiene que ser par. (p, q divisibles por 2).

IRRACIONALES.

IR = {representación decimal infinita} = ℝ – Q = Qc

Obs.: Sea n ∈ ℤ+ y a ∈ ℝ.

Si n es impar existe un único real b tq a = bn. El número lo denotaremos por √(n&a) o por a1/n y se llama raíz n–ésima de a.

(P/E) ∛8 =2, √(5&-32)

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