Matematica
Enviado por raquel • 24 de Junio de 2012 • 555 Palabras (3 Páginas) • 445 Visitas
Un Complejo Z= a + bi tiene su representación geométrica como un punto en el plano y también puede ser expresado en un sistema de coordenadas polares de la siguiente forma :
b (a,b)
ó
b Z= a + bi
Para ubicar el punto (a,b) ó Z en el plano, las coordenadas a y b (rectangulares) son sustituidas por las coordenadas r y j (polares). Donde j es el ángulo medido desde el eje real positivo y r es la distancia desde el origen de coordenadas hasta el punto (a , b) ó Z.
Los números complejos pueden representarse, por lo tanto, con un vector que sale del origen del sistema de coordenadas rectangulares y llega al punto Z. Las componentes del vector son las mismas que las coordenadas del punto.
a= Re(z) eje X b= Im(z) eje Y
Las coordenadas polares se representan en un círculo, considerando que 0 es el origen y el eje X+ es el eje polar.
Del triángulo rectángulo formado, se obtiene :
a = r cos j y b=r senj
Z= a + bi = r cos j + i sen j = r (cosj + isenj ) = r cisj = rej i
Donde : es el módulo del número Complejo.
es el ARGUMENTO del número complejo.
Z=a + bi = r cis j
En forma desarrollada :
Z= a + bi = r (cosj + isenj )
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) y Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2)
Definir :
Z1 × Z2 :
Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cisq 1 y
Z2= r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cisq 2
Se efectúa el producto de Z1 × Z2
Z1 × Z2 = r1 Cisq 1 × r2 Cisq 2
En Forma desarrollada : = r1(Cosq 1 + iSenq 1)× r2(Cosq 2 + iSenq 2)
Ordenando : = r1× r2(Cosq 1 + iSenq 1)× (Cosq 2 + iSenq 2)
Efectuando el producto de los factores que están entre paréntesis :
Ordenando y sustituyendo i2 por (-1) :
Sacando factor común "i" en los últimos términos :
Por lo tanto, sustituyendo :
y, en la forma abreviada :
En resumen :
En palabras :
"El producto de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el producto de los módulos y como argumento, la suma de los argumentos."
Sean Z1 = r1 (Cosq 1 + iSenq 1) = r1 Cis q 1 y
Z2 = r2 (Cosq 2 + iSenq 2) = r2 Cis q 2
Se efectúa el cociente Z1 Z2
Descomponemos así el segundo miembro :
Expresión equivalente a la que sigue :
Aplicando la fórmula de Moivre :
Y por último, multiplicando :
En definitiva :
En palabras : " El cociente de dos números complejos en forma trigonométrica tiene como módulo el cociente
...