Parabola E Hiperbola Geometria Analitica Y Ejercicios De Aplicacion

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PARÁBOLA

CONCEPTO.- La parábola es el lugar geométrico de los puntos tales que sus distancias a un punto fijo llamado foco y a una recta fija llamada directriz son iguales.

d (P,L) = d ( P,F)

PUNTOS Y LÍNEAS BÁSICAS DE LA PARÁBOLA

Foco: F.- Es el punto fijo de la parábola que está situado sobre el eje focal y la distancia que se encuentra del vértice al foco, es la misma que del vértice a la Directriz.

Directriz: L.- Es la recta fija de la parábola y es perpendicular al eje.

Cuerda (MN):Es el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de la parábola.

Parámetros: P=AV=VF.- Es la distancia del foco al vértice, y del vértice a la directriz.

Eje focal: AF.- Es la recta que pasa por el foco

Lado Recto: BC.- Es el segmento perpendicular al eje focal.

Vértice: V.-. Es el punto de intersección de la parábola con su eje.

Cuerda focal: BC.- Es el segmento de recta que pasa por el foco.

Radio focal: FD.- Es el segmento que une el foco (F) con un punto cualquiera de la parábola (D).

Excentricidad: e = 1.

ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA DE VÉRTICE EN EL ORIGEN

EJE FOCAL EN EL EJE X

Deducción.- (1)Por definición de parábola el punto P debe satisfacer la condición geométrica.

r1 = r2

r1 = √(〖(x-P)〗^2+y^2 )

r2 = x + P

√(〖(x-P)〗^2+y^2 )= x + P

(√(〖(x-P)〗^2+y^2 ))2 = (x + P)2

X2-2xp+p2 + y2= X2-2xp+p2

Ec. Parábola

EJE FOCAL EN EL EJE Y

ECUACIÓN GENERAL DE LA PARÁBOLA.

Aceptamos el significado de general como la parábola cuyo vértice no está situado en el origen de coordenadas.

En este caso tendremos que trasladar el vértice al nuevo punto quedándonos establecida la fórmula:

Hacemos operaciones:

Damos valores a:

Sustituyendo estos valores en (I) obtenemos la ecuación general de la parábola:

EC. GENERAL PARÁBOLA

Cuando su eje focal es paralelo al eje X se halla situado en el punto (h, k) la fórmula es:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN

1) Una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo eje coincide con el eje x pasa por el punto (-2 ; 4).Hallar la ecuación de la parábola, las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la longitud de su lado recto.

y2=4px Directriz

(4)2=4p(-2) l = -p

16=-8p l=-(-2)

p =16/(-8) x=2

p= -2

y2=4px Long. Lado Recto

y2=4(-2)(x) |4p|

|-8|=8

y2=-8x Ec. Parábola

2) Obtén la ecuación de la parábola con vértice V (4 ; -3) cuya directriz es la recta x=6.

V(4 ; -3)

x=6 Horizontal

〖(y-k)〗^2= 4p (x-h)

p =-2 ( y+3)2 = 4(-2)(x- 4)

( y+3)2 = -8(x- 4) Ec. Ordinaria Parábola.

3) Obtén la ecuación de la parábola con vértice V (-1; 4), y foco F (-1 ;1).

LR=|4p|

LR=|4(-3)|

LR=|-12|=12 Vertical

〖(x-h)〗^2=4p(y-k)

(x+1)2=4(-3)(y-4)

(x+1)2=-12 (y-4) Ec. Ordinaria Parábola

General:

x2+2x+1=-12y+48

x2+2x+12y-47=0 Ec. General Parábola

4) Obtener la ecuación de la parábola con vértice en el origen y cuya directriz es y=2

Solución :

Del gráfico se tiene :

x2=-4py

p=2

En :

x2= -4(2)y

x2= -8y

5) Obtener la ecuación, el foco y la directriz de la parábola con vértice en el origen y que contiene al punto B(3 ;4); además su eje focal es paralelo al eje x.

y2=4px Directriz y2=4px

(4)2=4p(3) l = -p y2=4(4/3)x

16=12p l=- 4/3 y2=16/3 x Ec. Parábola

p =16/12

p =4/3

6) Calcular el radio focal del punto M de la parábola y2 = 20x si la abscisa del punto M es igual a 7

7) Determinar, en forma reducida, la ecuación de la siguiente parábola, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.

8) Hallar la longitud de la cuerda focal de la parábola x2+8y=0 que es paralela a la recta 3x+4y-7=0

x2+8y=0 1

x2=- 8y

4p= -8

p= - 8/4

p= -2 F(0 , -2)

Ec. Cuerda Focal

y-y1=m(x-x1)

y-2= (-3)/4(x-0)

4y+8=-3x

3x+4y+8=0 2

3x=-4y+8

x=(-4y-8)/3

1 ^ 2

((-4y-8)/3)2 +8y=0

(〖16y〗^2+64y+64)/9+8y=0

16y2+64y+64+72y=0

16y2+136y+64=0

y=(-b±√(b^2-4ac))/2a 3x+4y+8=0

y=(-136±√(〖136〗^2-4(16)(64)))/32 3x+4(-8)+8=0

y=(-136±120)/32 3x-32+8=0

y1=-1/2 3x-24=0

y2= -8 x=24/3 x2=8

3x+4y+8=0 A(-2 ;-1/2) ; B(8, -8)

3x+4(-1/2)+8=0 d=√(〖(8+2)〗^2+〖(-8+1/2)〗^2 )

3x-2+8=0 d=25/2

3x+6=0

x= -6/3

x1 =-2

9) Determina la ecuación de la parábola que tiene:

De directriz x = -3, de foco (3, 0).

p=d (F,r)=6

y2=4px

y2=4(3)x

y2=12x

10) Calcular las coordenadas del vértice y de los focos, y la ecuación de la directriz de la parábola:

y2-6y-8x+17=0

(y2-6y+9)-9-8x+17=0

(y2-6y+9) = 8x-8

(y-3)2 =8(x-1) V(1,3)

2p=8 p/2=2

F(1 +2,3) F(3,3)

d=x=1-2 d=x=-1 

HIPÉRBOLA

CONCEPTO.- Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante, positiva y menor que la distancia entre los dos focos.

PUNTOS Y LINEAS BÁSICAS:

Focos: F;F’- Son los puntos fijos de la hipérbola que están situado sobre el eje.

Eje focal: Es la recta que pasa por los

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