RAÍCES CARACTERÍSTICAS

RAÍCES CARACTERÍSTICAS

El lugar de las raíces es una construcción gráfica, en el plano imaginario, de las raíces de la ecuación característica de un lazo de control para diferentes valores de la ganancia o algún otro parámetro del controlador del lazo de control

Mediante la construcción del lugar de las raíces se puede estudiar la estabilidad del lazo de control de un proceso y analizar el efecto de cambiar algunos términos del lazo de control en la estabilidad del mismo.

Por comodidad comenzaremos analizando el sistema de segundo orden ya que ésta nos provee información que nos servirá de base para el futuro análisis del lugar geométrico de las raíces.

Sea la función de transferencia en lazo cerrado:

[pic 2]

[pic 3]

[pic 4]

[pic 5]

Si  Polos complejos[pic 6]

Si  Polos reales[pic 7]

Luego es conveniente expresar:

[pic 8]

Donde:

[pic 9]

[pic 10]

[pic 11]

El factor de amortiguamiento Relativo  es el cociente entre el amortiguamiento real B y el amortiguamiento crítico Bc[pic 12]

[pic 13]

[pic 14]

Luego en términos de  y Wn, el sistema de la figura 1 se convierte en la figura 2  y la función de transferencia es la que sigue:[pic 15]

[pic 16]

[pic 17]

El comportamiento dinámico del sistema de 2 orden, se describe en términos de dos parametros  .[pic 18]

Por ejemplo si:

Se dice que posee polos complejos conjugados en el semiplano izquierdo del plano s y se dice que el sistema es Subamortiguado con una respuesta transitoria oscilatoria.[pic 19]

[pic 20]

[pic 21]

[pic 22]

[pic 23]

Donde si:

[pic 24]

Tenemos raíces complejas conjugadas.

Resumiendo en nuestra tabla.

Sabemos que:

[pic 25]

Donde:

[pic 26]

[pic 27]

[pic 28]

[pic 29]

Si tomamos la transformada de Laplace ante una entrada escalón unitario obtendríamos:

[pic 30]

Como se puede analizar en la ecuación la respuesta se vuelve mas oscilatoria con sobrepasos mayores mientras disminuye. Cuando  la respuesta no muestra sobrepaso, es decir no excede el valor final. Tambien se muestra que Wn tiene un efecto sobre el tiempo de levantamiento, de retardo y asentamiento pero no afecta el sobrepaso.[pic 31][pic 32]

En la figura siguiente se muestra la relación entre la localización de las raíces de la ecuación característica y [pic 33]

 Wn: cte[pic 34]

Lugar geométrico si la frecuencia de amortiguamiento es cte:

[pic 35]

En esta gráfica, observamos que el eje corresponde a δ=0 o α=0, el cual resulta de una oscilación permanente, se dice que el sistema es marginalmente estable o marginalmente inestable. Como hemos visto el sistema de segundo orden nos ayuda a entender que la localización de las raíces juega un papel importante en la respuesta transitoria del sistema.

[pic 36]

Aquí observamos el lugar geométrico de las raíces de la ecuación características del sistema base que hemos tomado es decir el de segundo orden, cuando Wn se mantiene constante y el factor varía desde -∞ +∞

GRAFICA DE LUGAR GEOMETRICO DE LAS RAICES

La idea básica detrás del método del lugar geométrico de las raíces es que los valores de s que hacen que la función de transferencia alrededor del lazo sea igual a -1 deben satisfacer la ecuación característica del sistema.

El método debe su nombre al lugar geométrico de las raíces de la ecuación característica del sistema en lazo cerrado conforme la ganancia varía de cero a infinito. Dicha gráfica muestra claramente como contribuye cada polo o cero en lazo abierto a las posiciones de los polos en lazo cerrado.

Como nuestro principal interés son los sistemas de control entonces consideramos la funcion de transferencia en lazo cerrado:

[pic 37]

Luego igualando el denominador a cero se obtienes las raíces de la ecuación característica, es decir:

[pic 38]

[pic 39]

Aquí se sabe que es un polinomio en s. Dado que es una cantidad compleja se divide en dos ecuaciones igualando los ángulos y magnitudes de ambos miembros, obteniendo dos condiciones que son las de ángulo y magnitud.[pic 40]

[pic 41]

Donde debemos tener presente que las condiciones de ángulo determinan las trayectorias del lugar geométrico de las raíces en el plano s.

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