Teoría de conjuntos difusos

CAPÍTULO 1

Teoría de conjuntos difusos

La teoría clásica de conjuntos se basa en el concepto fundamental de "conjunto" del cual un individuo es miembro o no miembro. Existe una distinción nítida, nítida e inequívoca entre un miembro y un no miembro para cualquier "conjunto" bien definido de entidades en esta teoría, y hay un límite muy preciso y claro para indicar si una entidad pertenece al conjunto. En otras palabras, cuando uno hace la pregunta "¿Es esta entidad un miembro de ese conjunto?" La respuesta es "sí" o "no". Esto es cierto tanto para los casos deterministas como estocásticos. En la probabilidad y las estadísticas, uno puede hacer una pregunta como "¿Cuál es la probabilidad de que esta entidad sea un miembro de ese conjunto?" En este caso, aunque una respuesta podría ser como "La probabilidad de que esta entidad sea un miembro de ese conjunto Es el 90% ", el resultado final (es decir, la conclusión) sigue siendo" es "o" no es "un miembro del conjunto. La probabilidad de que uno haga una predicción correcta como "es un miembro del conjunto" es del 90%, lo que no significa que tenga una membresía del 90% en el conjunto y, mientras tanto, posee un 10% de no pertenencia. A saber, en la teoría clásica de conjuntos, no se permite que un elemento esté en un conjunto y no en el conjunto al mismo tiempo. Por lo tanto, muchos problemas de aplicación del mundo real no pueden ser descritos y manejados por la teoría clásica de conjuntos, incluyendo todos aquellos que implican elementos con sólo la pertenencia parcial de un conjunto. Por el contrario, la teoría de conjuntos difusos acepta asociaciones parciales y, en consecuencia, en cierto sentido, generaliza la teoría de conjuntos clásica hasta cierto punto.

Para introducir el concepto de conjuntos difusos, primero revisamos la teoría de conjuntos elementales de la matemática clásica. Se verá que la teoría de conjuntos difusos es una extensión muy natural de la teoría clásica de conjuntos y también es una noción matemática rigurosa

I. TEORÍA DEL CONJUNTO CLÁSICO

A. Conceptos Fundamentales

Sea S un conjunto no vacío, llamado universo, que consiste en todos los posibles elementos de preocupación en un contexto particular. Cada uno de estos elementos se llama miembro o elemento de S. Una unión de varios miembros (finitos o infinitos) de S se llama subconjunto de S. Para indicar que un miembro s de S pertenece a un subconjunto S de S , nosotros escribimos

s ∈ S

Si s no es miembro de S, escribimos

s ∉ S.

Para indicar que S es un subconjunto de S, escribimos

S ⊂ S

Por lo general, esta notación implica que S es un subconjunto estrictamente propio de S en el sentido de que existe al menos un miembro x ∈ S pero x ∉ S. Si puede ser S ⊂ S o S = S, escribimos

S ⊆ s

Un subconjunto vacío se denomina ∅. Un subconjunto de ciertos miembros que tienen propiedades P1, ..., Pn se denotará con una letra mayúscula, digamos A, como

A = {a | A tiene propiedades P1, ..., Pn}.

Un conjunto de universo importante y utilizado con frecuencia es el espacio euclidiano de dimensión n Rn un subconjunto A ⊆ Rn que se dice que es convexo si

[pic 1]

Implica

Λx + (1 - λ) y ∈ A para cualquier λ ∈ [0,1].

Sea A y B dos subconjuntos. Si cada miembro de A es también un miembro de B, es decir, si a ∈ A implica a ∈ B, entonces A se dice que es un subconjunto de B. Escribimos A ⊂ B. Si tanto A ⊂ B como B ⊂ A es verdad , Entonces son iguales, para lo cual escribimos A = B. Si puede ser A ⊂ B o A = B, entonces escribimos A ⊆ B. Por lo tanto, A ⊂ B es equivalente a A ⊆ B y A ≠ B.

La diferencia de dos subconjuntos A y B se define por A - B = {c | C ∈ A y c ∉ B}.

En particular, si A = S es el conjunto del universo, entonces S - B se llama complemento de B, y se denota por B, es decir, B = S - B.

Obviamente, B = B, S = ∅, y ∅ = S.

Sea r ∈ R un número real y A un subconjunto de R. Entonces la multiplicación de r y A se define como r A = {r a | A ∈ A}.

La unión de dos subconjuntos A y B se define por A ∪ B = B ∪ A = {c | C ∈ A o c ∈ B}.

Por lo tanto, siempre tenemos A ∪ S = S, A ∪ ∅ = A, y A ∪ A = S.

La intersección de dos subconjuntos A y B se define por A ∩ B = B ∩ A = {c | C ∈ A y c ∈ B}.

Obviamente, A ∩ S = A, A ∩ ∅ = ∅, y A ∩ A = ∅.

Se dice que dos subconjuntos A y B son disjuntos si A ∩ B = ∅.

Las propiedades básicas de la teoría de conjuntos clásicos se resumen en la Tabla 1.1, donde A ⊆ S y B ⊆ S.

Tabla 1.1 Propiedades de las operaciones del conjunto clásico

[pic 2]

Con el fin de simplificar la notación en el resto del libro, si el conjunto de universo S se ha especificado o no es de interés, simplemente llamar a cualquiera de sus subconjuntos un conjunto. Así, podemos considerar dos conjuntos A y B en S, y si A ⊂ B entonces A es llamado un subconjunto de B.

Para cualquier conjunto A, la función característica de A se define por

[pic 3]

Es fácil verificar que para cualquier dos conjuntos A y B en el conjunto de universo S y para cualquier elemento x ∈ S, tenemos

[pic 4]

B *. Teoría de medidas elementales de conjuntos

En esta subsección, revisaremos brevemente la noción básica de medida en la teoría clásica de conjuntos que, aunque no sea necesaria a lo largo de este libro, será útil en estudios adicionales de algunas matemáticas difusas avanzadas. Sea S el conjunto del universo y A una familia no vacía de subconjuntos de S. Dejemos, además,

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