Condición de alineación de tres puntos

La Recta/Tres puntos alineados

Condición de alineación de tres puntos

Expresaremos algebraicamente la condición de alineación de tres puntos ( , ), ( , ), ( , ) pertenecientes a una recta no paralela a ninguno de los ejes coordenados. Sean ', ' y ' las proyecciones ortogonales sobre el eje de los puntos , y , y ", " y " las proyecciones ortogonales sobre el eje de los puntos , y . Cada una de las proyecciones mencionadas tienen asociadas sus respectivas abscisas y ordenadas.

Como las rectas ( '), ( ') y ( ') son paralelas, podemos aplicar el teorema de Thales en las rectas secantes y resulta:

De igual forma, las rectas ( "), ( ") y ( ") son paralelas, entonces aplicando nuevamente el teorema de Thales en las rectas secantes y Resulta :

En consecuencia, aplicando la propiedad transitiva de la igualdad:

Considerando el orden de los puntos de la recta , se cumple que la proporción expresada anteriormente es igual a:

ya que cada uno de los componentes de la proporción es positivo, y en consecuencia coincide con la distancia. Sin embargo esta relación es válida independientemente de la ubicación de los puntos en la recta .

Si por ejemplo se ubican los puntos tal que P2< P< P1 la relación :

quedará como :

Lo anterior es equivalente a:

...