Sucesiones

Sucesiones

Definición: Una función , se llama sucesión.

En símbolos: , con y .

Ejemplos:

1)

2) ,

3) 1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; 1,414213;…….

Ejercicio: Escriba los 10 primeros términos de cada una de las siguientes sucesiones:

a) , b) , c) ,d) , e) , f) , g) , h) , ; i) ; j) 4; 3,2; 3,15; 3,142; 3,1416; 3,14160;

Sucesiones monótonas:

Definición: es monótona creciente en sentido amplio  .

es monótona creciente en sentido estricto  .

es monótona decreciente en sentido amplio  .

es monótona decreciente en sentido estricto  .

Limite de una sucesión.

Definición: o    > 0,  n0  N*/  n ≥ n0 

Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0 

Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0 

Definición: o   K > 0,  n0  N*/  n ≥ n0  o .

Definición: Si , se dice convergente.

Definición: Si , se dice divergente.

Definición: Si no es convergente ni divergente se dice oscilante.

Teorema de unicidad.

Teorema: Si  lím a n = l  l es único.

Demostración:

Supongamos que tiene dos límites, l y l’, l < l’.

Elijo  > 0 / l +  < l’-    +  < l’- l  2 < l’- l  .

Luego por definición:

{a n} l  dado  > 0,  n1  N* /  n ≥ n1   l -  < a n < l + .

{a n} l’  dado  > 0,  n2  N* /  n ≥ n2   l’-  < a n < l’+ .

Tomemos n ≥ máx{ n1, n2} a n < l + < l’-  < a n; absurdo  l = l’.

Sucesiones acotadas:

Definición: es acotada 

Teorema: Si es convergente es acotada.

Demostración:

Teorema: Si es divergente no es acotada.

Demostración:

Teorema: Si es monótona creciente y acotada  es convergente.

Demostración:

Número e.

Teorema: es monótona creciente y acotada  es convergente.

Demostración:

 e = 2,7182818284……..

Teoremas sobre la conservación del signo.

Teorema: Si , con l’ < l (o l’ > l)   n0  N*/  n ≥ n0  (o ).

Demostración:

Corolario:

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