ASPECTOS TEÓRICOS REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN

1. INTRODUCCIÓN

Si sabemos que existe una relación entre una variable denominada dependiente y otras denominadas independientes (como por ejemplo las existentes entre: la experiencia profesional de los trabajadores y sus respectivos sueldos, las estaturas y pesos de personas, la producción agraria y la cantidad de fertilizantes utilizados, etc.), puede darse el problema de que la dependiente asuma múltiples valores para una combinación de valores de las independientes.

La dependencia a la que hacemos referencia es relacional matemática y no necesariamente de causalidad. Así, para un mismo número de unidades producidas, pueden existir niveles de costo, que varían empresa a empresa.

Si se da ese tipo de relaciones, se suele recurrir a los estudios de regresión en los cuales se obtiene una nueva relación pero de un tipo especial denominado función, en la cual la variable independiente se asocia con un indicador de tendencia central de la variable dependiente. Cabe recordar que en términos generales, una función es un tipo de relación en la cual para cada valor de la variable independiente le corresponde uno y sólo un valor de la variable dependiente.

2. ASPECTOS TEÓRICOS

REGRESIÓN SIMPLE Y CORRELACIÓN

La Regresión y la correlación son dos técnicas estadísticas que se pueden utilizar para solucionar problemas comunes en los negocios.

Muchos estudios se basan en la creencia de que es posible identificar y cuantificar alguna Relación Funcional entre dos o más variables, donde una variable depende de la otra variable.

Se puede decir que Y depende de X, en donde Y y X son dos variables cualquiera en un modelo de Regresión Simple.

"Y es una función de X"

Y = f(X)

Como Y depende de X,

Y es la variable dependiente, y

X es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión es muy importante identificar cuál es la variable dependiente y cuál es la variable independiente.

En el Modelo de Regresión Simple se establece que Y es una función de sólo una variable independiente, razón por la cual se le denomina también Regresión Divariada porque sólo hay dos variables, una dependiente y otra independiente y se representa así:

Y = f (X)

"Y está regresando por X"

La variable dependiente es la variable que se desea explicar, predecir. También se le llama REGRESANDO ó VARIABLE DE RESPUESTA.

La variable Independiente X se le denomina VARIABLE EXPLICATIVA ó REGRESOR y se le utiliza para EXPLICAR Y.

ANÁLISIS ESTADÍSTICO: REGRESIÓN LINEAL SIMPLE

En el estudio de la relación funcional entre dos variables poblacionales, una variable X, llamada independiente, explicativa o de predicción y una variable Y, llamada dependiente o variable respuesta, presenta la siguiente notación:

Y = a + b X + e

Donde:

a es el valor de la ordenada donde la línea de regresión se intercepta con el eje Y.

b es el coeficiente de regresión poblacional (pendiente de la línea recta)

e es el error

SUPOSICIONES DE LA REGRESIÓN LINEAL

1. Los valores de la variable independiente X son fijos, medidos sin error.

2. La variable Y es aleatoria

3. Para cada valor de X, existe una distribución normal de valores de Y (subpoblaciones Y)

4. Las variancias de las subpoblaciones Y son todas iguales.

5. Todas las medias de las subpoblaciones de Y están sobre la recta.

6. Los valores de Y están normalmente distribuidos y son estadísticamente independientes.

ESTIMACIÓN DE LA ECUACIÓN DE REGRESIÓN MUESTRAL

Consiste en determinar los valores de "a" y "b " a partir de la muestra, es decir, encontrar los valores de a y b con los datos observados de la muestra. El método de estimación es el de Mínimos Cuadrados, mediante el cual se obtiene:

Luego, la ecuación de regresión muestral estimada es

Que se interpreta como:

a es el estimador de a

Es el valor estimado de la variable Y cuando la variable X = 0

b es el estimador de b , es el coeficiente de regresión

Está expresado en las mismas unidades de Y por cada unidad de X. Indica el número de unidades en que varía Y cuando se produce un cambio, en una unidad, en X (pendiente de la recta de regresión).

Un valor negativo de b sería interpretado como la magnitud del decremento en Y por cada unidad de aumento en X.

3. ANTECEDENTES DEL PROBLEMA

Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:

X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178

Y 50 61.5 54.5 57.5 63.5 59 61 72 66 72 84 82

Con estos datos vamos a plantear una ecuación de regresión simple que nos permita pronosticar los pesos conociendo las tallas. Utilizaremos a = 0.05, y contrastaremos nuestra hipótesis con la prueba F.

4. DESARROLLO

• Representación matemática y gráfica de los datos:

Representación Matemática

estatura pesos Regresión Lineal I.C. para la media I. C. individual

datos x y x ^2 y ^2 xy y est. Residual L. I. L. S. L. I. L. S.

1 152 50 23104 2500 7600 56.43 -6.43 53.07 59.79 47.30 65.56

2 155 61.5 24025 3782.3 9532.5 59.03 2.47 56.09 61.97 50.05 68.02

3 152 54.5 23104 2970.3 8284 56.43 -1.93 53.07 59.79 47.30 65.56

4 155 57.5 24025 3306.3 8912.5 59.03 -1.53 56.09 61.97 50.05 68.02

5 157 63.5 24649 4032.3 9969.5 60.77 2.73 58.05 63.48 51.85 69.68

6 152 59 23104 3481 8968 56.43 2.57 53.07 59.79 47.30 65.56

7 157 61 24649 3721 9577 60.77 0.23 58.05 63.48 51.85 69.68

8 165 72 27225 5184 11880 67.71 4.29 65.17 70.24 58.85 76.57

9 162 66 26244 4356 10692 65.11 0.89 62.65 67.56 56.27 73.94

10 178 72 31684 5184 12816 78.99 -6.99 74.65 83.33 69.45 88.52

11 183 84 33489 7056 15372 83.32 0.68 78.01 88.64 73.31 93.34

12 178 82 31684 6724 14596 78.99 3.01 74.65 83.33 69.45 88.52

5. HIPÓTESIS

HO: No hay relación entre la variable peso y la variable estatura.

HA: Hay relación entre la variable peso y la variable estatura.

Tabla de análisis de varianza

Fuente de Grados de Suma de Cuadrados

Variación libertad cuadrados medios estadístico F

Debido a

la regresión 1 1061.1 1061.1 73.08

error 10 145.2 14.5

total 11 1206.3

Se obtiene

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