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RESOLUCION DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS

Hay 3 metodos: igualacion, sustitucion y adicion o sustraccion

Por igualacion seria:

49x + 63y = 35 (1)

28x - 14y = 56 (2)

Multiplicando la ec (1) por 14 y la ec (2) por 63:

686x + 882y = 490 (3)

1764x - 882y = 3528 (4)

Sumando la ec (3) y la ec (4)

2450x - 0 = 4018

Despejando x:

x = 4018 / 2450

x = 1.64

Sustituyes x en cualquiera de las ec (1) o (2) y despejas y:

y = (35 -49x) / 63

y = -0.72

Método de sustitución

Sea el sistema

Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x

y = 11 - 3x

Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".

5x - (11-3x) = 13

Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente

5x – 11 + 3y = 13

5x + 3x = 13 + 11

8x = 24

x = 3

Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema

y = 11 - 3x

y = 11 - 9

y = 2

Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2

Método de igualación

Sea el sistema

<img src="4301.JPG" width="106" height="62"/>

Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita

<img src="4302.JPG" width="106" height="62"/>

Igualamos ambas ecuaciones

11 - 3x = -13 + 5x

8x = 24

x = 3

Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y

y = 11 - 9

y = 2

Método de reducción

Sea el sistema

<img src="4303.JPG" width="92" height="62"/>

Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:

Para este ejemplo eliminamos "y"

y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos

y = 2

Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.

EJEMPLO

Agapito tiene un terreno rectangular del que conoce que su área es de 600 m2. Cuando le mandó poner una barda, le cobraron el equivalente a 100 m. ¿Cómo podrá Agapito conocer la dimensión de cada uno de los lados de su terreno con estos datos?

Agapito plantea sus ecuaciones de la siguiente manera:

Como el área de un rectángulo se obtiene multiplicando la longitud de sus lados, se puede plantear la siguiente ecuación:

x • y = 600

Como el perímetro de un rectángulo es igual a la suma de todos sus lados, se puede plantear la siguiente ecuación:

x + x + y + y = 100

Simplificando la ecuación se tiene:

2x + 2y = 100

y dividiendo entre dos ambos términos se tiene:

x + y = 50

Con esto, Agapito tiene dos ecuaciones y dos incógnitas:

x • y = 600 -------------- (1)

x + y = 50--------------- (2)

Procede a resolver sus ecuaciones simultáneas, despejando una incógnita de una de las dos ecuaciones y sustituyéndola en la otra.

x + y = 50

y = 50 - x

Sustituye el valor de "y"=50 - x en donde se encuentra la "x" de la primera ecuación.

x • y = 600

x (50-x)= 600

50x - x2 = 600

Multiplicando por -1 ambos términos se tiene:

-1 • (50x - x2) = -600

Ahora conviene reordenar para tener las formas de una ecuación cuadrática:

x2 - 50x + 600 = 0

Observe que la ecuación se ordena expresando los elementos de mayor a menor exponente

Con lo anterior, Agapito tiene una ecuación con una x2 . A este tipo de ecuaciones se les llama cuadráticas o de segundo grado, porque el exponente más alto que hay en ella es un cuadrado.

Este tipo de ecuaciones tienen una incógnita (x) pero dos soluciones. Es decir, que existen dos valores de x que satisfacen la ecuación.

Si observa usted esta ecuación con cuidado, se dará cuenta que tiene la forma de un trinomio (x2 + bx + c ) que se obtiene del producto de sus factores: (x + f)(x + q)

donde:

b = p + q

c = p • q

Una ecuación cuadrática de la forma ax2 + bx + c = 0 se resuelve por factorización o aplicando la fórmula cuadrática (esta última la veremos más adelante).

Factorizar una expresión significa escribir la expresión como producto de sus factores, asi por ejemplo:

x2 + 6x + 8 = 0

Se puede escribir como producto de sus factores (x+2) y (x+4)

(x + 2)(x + 4) = x2 + 6x + 8

Observe que el coeficiente de x es la misma de 2+4=6 y que la constante 8 es el producto de 2 • 4.

Así entonces, para factorizar una expresión de la forma x2 + bx + c se necesita encontrar dos números cuya suma sea igual a b y su producto igual a c.

Factorizar

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