Modelo Bertrand

MODELO BERTRAND

BIOGRAFÍA DEL AUTOR

JOSEPH LOUIS FRANÇOIS BERTRAND

Nación en París un 11 de marzo de 1822 y falleció el 5 de abril en 1900. Estudió en la Ecole Polytechnique, en donde obtuvo la titulación de ingeniero de Minas; fue profesor en dicha Escuela desde 1856 hasta que pasó al prestigioso Collage de France donde permaneció de 1862 a 1900. Fue influyente miembro de la Academia de Sciences desde 1856. Sus aportaciones matemáticas fueron numerosas en diversos campos: teoría de números, geometría diferencial, cálculo de probabilidades, física termodinámica y astronomía.[pic 1]

Joseph Bertrand es más conocido por la revisión de los artículos “teoría matemática de la riqueza social” y “Estudios sobre los principios matemáticos de la teoría de la riqueza” de León Walras y Antoine Cournot respectivamente.

Criticó el proceso de tâttonnement de Walras, argumentando que en la vida real hay transacciones que tiene ligar en situaciones son equilibrio, por lo que podemos considerar un no determinación en los precios.

Su crítica a Cournot tuvo mayor valor para la economía, ya que desarrolló aún más la teoría de juegos y la teoría del oligopolio, creando así otro modelo de duopolio más conocido como el método de duopolio de Bertrand. La principal diferencia entre el método de Cournot sobre duopolios y el de Bertrand, es que el de Bertrand aseguró que la competencia de los duopolios estaría vinculada a los precios y no a la cantidad producida, que era la postura de Cournot.

ANTECEDENTES

MODELO DE COURNOT

El modelo de Cournot hace referencia al equilibrio en un mercado oligopolístico; para simplificar, entre dos empresas duopolistas que se reparten un mercado. Dicho mercado puede o no estar diferenciado. Cada empresa debe considerar detenidamente sus actos, porque afecta a sus rivales y provocará reacciones en éstas. Se dice que el mercado está en equilibrio si cada empresa obtiene los mejores resultados posibles dados los resultados de las otras (pues el precio y la cantidad lanzada por cada una influyen en las demás. En general, por tanto, diremos que está en equilibrio si cada empresa elige la mejor estrategia posible a la vista de lo que hacen las empresas competidoras y a este principio se le conoce como equilibrio de Nash.

Introduce el concepto de función de reacción, en la cual el volumen que maximiza el beneficio económico de una empresa se obtiene manteniendo constante el volumen de otras empresas.

SUPUESTOS

La diferencia con el modelo de Cournout es que el modelo de Bertrand plantea que las variables estratégicas son los precios:

• Es aplicable a 2 empresas.
• La variable estratégica es el precio
• Los productos de las empresas son homogéneos y se pueden sustituir entre ellos (Sustitutos perfectos).
• Los consumidores prefieren comprar al que ofrezca un precio más bajo, y si son ambas, las demanda en la misma cantidad.
• Las empresas son capaces de satisfacer toda la demanda.
• Ambas empresas tienen la misma función de costos marginales y constantes, pero sin costos fijos.

MODELO DE BERTRAND

Este modelo consiste en estudiar a las empresas oligopolísticas que compiten en precios por medio de productos homogéneos.

Al igual que el modelo de Cournot, se aplica a las empresas que producen el mismo bien homogéneo y toman sus decisiones al mismo tiempo. Sin embargo, en este caso eligen los precios en lugar de las cantidades. Como veremos este cambio puede afectar espectacularmente el resultado del mercado. (Pindyck & Rubinfeld, 2005, pág. 450)

Los consumidores comprarán los bienes de la empresa que ofrezca el precio más bajo; de estos se puede deducir  que el equilibrio de Nash será en el que ambas empresas fijan el mismo precio.

EQUILIBRIO DE NASH

En el equilibrio de Nash la estrategia que elige cada uno de los participantes de un conflicto o juego es óptima, dado la estrategia que han elegido los demás. En otras palabras, nadie ganará nada si decide cambiar su estrategia bajo el supuesto de que los demás individuos no cambien la suya. (http://diccionarioempresarial.wolterskluwer: 22-06-18)

Cabe destacar que bajo el equilibrio de Nash no necesariamente se obtiene mayor ganancia para los individuos o jugadores en conjunto. Solo se cumple que cada uno responde de manera óptima ante la estrategia de los demás. En muchos casos a los demás individuos les gustaría poder alcanzar otro equilibrio con mayores ganancias pero no logran hacerlo debido a que enfrenarán el riesgo a ser traicionados.

EQUILIBRIO DE NASH-BERTRAND

En este modelo, el único equilibrio de Nash   . Es decir el equilibrio de Nash es la solución de competencia, a pesar de que hay solo dos empresas. Para entender porqué supongamos que la empresa A elige un precio superior a c. La respuesta que maximiza las utilidades de la empresa B será elegir un precio ligeramente por debajo de PA y acaparar todo el mercado. Pero el precio de B si excede a c seguirá sin ser un equilibrio de Nash, porque ofrece a A más incentivos para reducir su precio. La elección  es la única que permite que las dos empresas empresas de este mercado alcancen un equilibrio de Nash. Esta estrategia para determinar los precios a veces se conoce como el equilibrio de Bertrand en honor a su descubridor. (Nicholson, 2008, pág. 454)[pic 2][pic 3]

CRÍTICAS

El modelo de Bertrand se ha criticado por varias razones:

• Cuando las empresas producen un bien homogéneo, es más natural competir fijando las cantidades en lugar de los precios.
• Aunque las empresas fijan el precio y eligen el mismo (cómo predice el modelo), ¿qué proporción de las ventas totales irá a parar a cada uno? Hemos supuesto que las ventas se dividirían por igual entre ellas, pero no hay razón alguna por la que tenga que ser así. No obstante el modelo de Bertrand es útil a pesar de estas deficiencias, porque muestra que en un oligopolio el resultado el resultado de equilibrio puede depender fundamentalmente de la elección de la variable estratégica de las empresas. (Pindyck & Rubinfeld, 2005, pág. 451)
• En este modelo se plantea un reparto equitativo del mercado, sin embargo la realidad no es tan preciso que el reparto del mercado sea equitativo, muchas veces no lo es. Además, una empresa podría intentar bajar precios por debajo del precio del equilibrio, expulsar a la competidora, pues una vez que se expulsa a un productor de un mercado no es tan fácil de volver a él.
• La crítica más fuerte es que en realidad, dado que lo que tienen en común las empresas es la homogeneidad de su producto, suele ser más frecuente que compitan fijando cantidad que precios.

Para superar esta última crítica hay otra versión del modelo de Bertrand con producto diferenciados aunque sustitutivos. Si suponemos que cada empresa fija su propio precio, dado que toma como fijo el de su competidora, podemos hallar las funciones de reacción de cada empresa entendida como lugar geométrico de los pares de precios tales que le indican a la empresa N° 1 qué precio debe fijar dado un precio de la empresa N° 2 para maximizar su beneficio; y el equilibrio de Nash estará en el corte de ambas funciones de reacción. También se puede considerar que las dos empresas fijan sus precios en secuencias de tiempo distintas. En lugar de fijar sus precios simultáneamente, la empresa n° 1 decide antes, pero curiosamente, ahora es una desventaja fijar el precio antes que la otra empresa: la empresa que decide su precio dado el de la otra, tiene la posibilidad de fijarlo  a un nivel algo más bajo y quedarse con el mercado, por lo que esta se considera en realidad un aversión inestable del modelo de Bertrand.

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