Principio básico de conteo y permutaciones

Principio básico de conteo y permutaciones

1. Proceso de producción. En un proceso de producción, un artículo pasa por tres líneas de ensamble A, B y C; y después pasa por una de las líneas de acabado D o E. ¿Cuántas rutas de producción son posibles?
2. Tiro de un dado y lanzamiento de una moneda. Se tira un dado y después se lanza una moneda. ¿Cuántos resultados son posibles?
3. Un estudiante debe tomar un curso de ciencias y otro de humanidades. Los cursos de ciencias disponibles son biología, química, física, computación y matemáticas. En humanidades los cursos disponibles son inglés, historia, comunicación oral y clásicos. ¿Cuántas selecciones de dos cursos puede hacer el estudiante?
4. Selección de una comida. En un restaurante una comida completa consta de un aperitivo, una entrada, un postre y una bebida. Las opciones para el aperitivo son sopa o jugo; para la entrada son pollo, pescado, bistec o cordero; para el postre son cerezas, tarta de duraznos, pastel de chocolate o pudín de zarzamora; para la bebida son café, té o leche. ¿Cuántas comidas completas son posibles?
5. Examen de falso-verdadero. ¿De cuántas maneras es posible responder un examen de 10 preguntas de tipo falso-verdadero?
6. Determina a) 5P2, b) 6P6, c) 4P2*5P3, d) [pic 1]
7. Nombre de una compañía. Peters, Flynn y Walters están formando una compañía de publicidad y acuerdan llamarla con sus tres apellidos. ¿Cuántos nombres son posibles para la compañía?
8. Concurso. ¿De cuántas formas puede un juez otorgar el primero, segundo y tercer premios en un concurso que tiene 8 participantes?
9. Tiro de un dado. Un dado es tirado 3 veces y el resultado de cada tiro es anotado. ¿Cuántos resultados son posibles?
10. Problema de asignación. En una clase de matemáticas de 12 alumnos, el profesor desea que los problemas 1, 3 y 5 de la tarea sean resueltos en el pizarrón por 3 estudiantes diferentes. ¿De cuántas formas puede el profesor asignar los problemas?
11. Cuestionario para un empleado. Una compañía reparte un cuestionario por medio del cual cada empleado debe ordenar 3 puntos con los cuales esté descontento. Los puntos son: salarios, ambiente de trabajo, tiempo de vacaciones, seguridad en el trabajo, supervisores, seguro de salud, tiempo de descanso y plan de retiro. El orden será indicado por los números 1, 2 y 3, donde el 1 indica el punto involucrado con el mayor descontento y 3 el de menor descontento. ¿De cuántas maneras puede un empleado responder al cuestionario?
12. Arreglo de letras. ¿Cuántas palabras de seis letras que forman la palabra MEADOW son posibles si ninguna letra se repite?
13. Acomodo de libros. ¿De cuántas maneras pueden ser acomodados cinco de siete libros en un estante? ¿De cuántas maneras pueden ser acomodados los siete libros en el estante?
14. Manos de póker. Una mano de póker consiste en 5 cartas sacadas de una baraja de 52 cartas. La mano se dice que es póker si 4 cartas tienen el mismo valor. ¿Cuántas de tales manos son posibles?
15. Orden de comida. Cuatro estudiantes van a una comida y ordenan una hamburguesa, una hamburguesa con queso, un emparedado de pescado y un emparedado de carne (un bocadillo para cada uno). Cuando la camarera regresa con los platillos, coloca un bocadillo enfrente de cada estudiante, pues olvidó cual ordenó cada cosa. ¿De cuántas maneras puede hacer esto la camarera?
16. Funcionarios de un club. Un club tiene 12 miembros. ¿De cuántas maneras pueden ser asignados los cargos de presidente, vicepresidente, secretario y tesorero, si ningún miembro puede servir en más de un cargo? ¿De cuántas maneras pueden ser asignados los cuatro cargos si el presidente  y el vicepresidente deben de ser miembros diferentes, y no hay restricción sobre el secretario y el tesorero?
17. Baloncesto. ¿De cuantas maneras puede un entrenador de baloncesto asignar posiciones a su equipo de cinco miembros si dos están calificadas para la posición de centro, pero las cinco son aptas para todas las posiciones?
18. Béisbol. Un entrenador de béisbol determina que de los nueve miembros del equipo, cuatro son bateadores fuertes y cinco son débiles. Si el entrenador quiere que los bateadores fuertes sean los primeros en el orden al bat. ¿Cuántas órdenes al bat son posibles?

Combinaciones y otros principios de conteo.

1. Determine a) 6C4 b) 100C100 c) 3P2*3C2
2. Demuestre que a) nCr=nCn-r y b) nCn=1
3. Comité. ¿De cuántas maneras puede formarse un comité de 5 miembros de un grupo de 15 personas?
4. Examen de matemáticas. Un examen de matemáticas tiene 12 preguntas, un estudiante debe responder cualesquiera 10 preguntas. ¿De cuántas maneras pueden ser elegidas las 10 preguntas (sin importar el orden)?
5. Control de calidad. Un técnico de control de calidad debe seleccionar una muestra de 10 vestidos de un lote de 74 vestidos. ¿Cuántas muestras diferentes son posibles? Exprese su respuesta en términos de factoriales.
6. Calificación de un examen. En un examen de 10 preguntas, cada pregunta tiene un valor de 10 puntos y es calificada como correcta o incorrecta. Considerando las preguntas individuales, ¿de cuántas maneras puede un estudiante obtener una calificación de 80 o más?
7. Arreglos de letras. ¿Cuántas palabras diferentes se pueden construir con todas las letras de la palabra REMEMBER? ¿Cuántas palabras diferentes se pueden construir con todas las letras de la palabra ADMINISTRACIÓN?
8. Lanzamiento de una moneda. Si una moneda es lanzada seis veces y el resultado de cada lanzamiento es anotado, ¿de cuántas maneras pueden ocurrir cuatro águilas y dos sellos?
9. Programación de reparaciones. Un reparador de artículos debe atender seis llamadas de servicio. ¿En cuántas formas puede acomodar su programación?
10. Asignación de proyecto. El director de investigación y desarrollo de una compañía tiene nueve científicos igualmente capacitados para trabajar en los proyectos A, B o C. ¿De cuántas maneras puede el director asignar tres científicos a cada proyecto?
11. Examen de falso-verdadero. Un instructor de biología incluye varias preguntas de falso-verdadero en sus exámenes. De experiencias anteriores un estudiante cree que la mitad de las preguntas son verdaderas y la mitad falsas. Si en el examen siguiente habrá ocho preguntas. ¿De cuántas maneras puede el estudiante responder la mitad de ellas con verdadero y la otra mitad con falso?
12. Asignación de trabajadora social. Una oficina de servicio social tiene 15 nuevos beneficiarios y el supervisor quiere asignar clientes a cada una de tres trabajadoras específicas (la carga de beneficiarios atendidos por trabajadora debe ser igual). ¿de cuántas formas puede hacer esto?
13. Banderas de señales. Banderas de colores acomodadas de manera vertical en una asta bandera indican una señal o mensaje. ¿Cuántas señales son posibles, si a) son utilizadas dos rojas, dos verdes y dos amarillas, b) están disponibles dos rojas, dos verdes y tres amarillas, y todas las banderas rojas y verdes, y al menos una bandera amarilla son utilizadas?
14. Portafolio financiero. Un asesor financiero quiere crear un portafolio con ocho acciones y cuatro bonos. Si para formar el portafolio puede seleccionar entre doce acciones y siete bonos que son aceptables, ¿de cuántas maneras puede ser creado?
15. Subcomité. Un comité tiene siete miembros, tres de los cuales son hombres y cuatro son mujeres. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse un subcomité que consista exactamente en a) tres hombres, b) cuatro mujeres y c) dos hombres y dos mujeres?
16. Mano de póker.  Una mano de póker consiste en 5 cartas sacadas de una baraja de 52 cartas. La mano es full si hay tres cartas de una denominación y 2 de otra denominación. Por ejemplo, tres números 10 y 2 sotas forman un full. ¿Cuántas manos de full son posibles?
17. Carga de un tranvía. En una zona turística 2 tranvías llevan turistas a unas montañas pintorescas. Un tranvía tiene capacidad para 6 personas y el otro para ocho. Un grupo de 18 turistas llega y ambos tranvías están al pie de las montañas. Obviamente, sólo 14 pueden subir a la montaña en el primer viaje. ¿De cuántas maneras puede subirse a los 14 turistas a los dos tranvías?

Espacios muestrales y eventos

1. Selección de cartas. Una carta es extraída de un mazo de cuatro cartas que consiste en: 9 de diamantes, 9 de tréboles, 9 de corazones y 9 de espadas. Determine el espacio muestral de este experimento.
2. Tiro de un dado y lanzamiento de una moneda. Se tira un dado y después se lanza una moneda. Determine el espacio muestral de este experimento.
3. Selección de letras. Se seleccionan en sucesión dos letras diferentes de la palabra “love”. Determine el espacio muestral de este experimento.
4. Selección de canicas. Una urna contiene 3 canicas de colores: una roja, una blanca y una azul. Determine un espacio muestral si a) dos canicas son seleccionadas con reemplazo, y b) dos canicas son seleccionadas sin reemplazo.
5. Reparto de cartas. Una mano de 13 cartas se reparte de una baraja de 52 cartas. Determine el espacio muestral de este experimento.
6. Suponga que [pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]. Determine los siguientes eventos: a) [pic 6] b) [pic 7] c) [pic 8] y d) [pic 9] 
7. Selección de cartas. De una baraja normal de 52 cartas, se selecciona una carta. ¿Cuáles pares de los eventos siguientes son mutuamente excluyentes?

[pic 10]

1. Lanzamiento de una moneda. Se lanza una moneda tres veces sucesivas y se observan los resultados. Determine lo siguiente: a) el espacio muestral, b) el evento E1 de que aparezca al menos un águila, c) el evento E2, de que aparezca al menos un sello, d) [pic 11], e) [pic 12], f) [pic 13], g) [pic 14].
2. Llegadas. Las personas A, B y C entran a un edificio en diferentes momentos. El resultado de que A llegue primero, B segundo y C tercero puede ser indicado por ABC. Determine: a) el espacio muestral de las posibles llegadas, b) el evento de que A llegue primero y c) el evento de que A no llegue primero.
3. Si E y F son eventos para un experimento, demuestre que [pic 15]y [pic 16]son eventos mutuamente excluyentes.

Probabilidad

1. De 1000 ensayos de un experimento ¿Cuántas veces esperaría que el evento E ocurriera si P(E)=0.3?
2. Si P(E)=0.2, P(F)=0.3 y P([pic 17])=0.1, encuentre  a) P(E’) y P([pic 18]).
3. Si P([pic 19])=0.831, ¿son E y F mutuamente excluyentes?
4. Dados. Un par de dados son tirados. Encuentra la probabilidad de que la suma de los números caídos en cada dado sea a) 8; b) 2 o 3; c) 3, 4 o 5; d) 12 o 13; e) par; f) impar; g) menor que 10.
5. Selección de cartas. Una carta es seleccionada de una manera aleatoria de una baraja de 52 cartas. Determine la probabilidad de que la carta sea a) un rey de corazones, b) una de diamantes, c) una sota, d) roja, e) una de corazones o de tréboles, f) un cuatro de trébol, g) una roja o un rey e i) una carta de espadas y una de corazones.
6. Moneda, dado y carta. Una moneda y un dado son lanzados, y una carta es extraída de una baraja de 52cartas. Determine la probabilidad de que la moneda, el dado y la carta muestren respectivamente a) águila, tres, reina de corazones; b) águila, tres, reina; c) sello, 2 o 3, reina; d) sello, número par, diamante.
7. Selección de cartas. Dos cartas de una baraja normal de 52 cartas se seleccionan al azar sucesivamente dos cartas sin reemplazo. Encuentre la probabilidad de que a) ambas cartas sean reyes, y b) una carta sea diamantes y la otra de corazones.
8. Sexo de niños. Suponiendo que el sexo de una persona está determinado al azar, calcule la probabilidad de que una familia de tres hijos tenga a) tres niñas, b) un niño,  c) no tenga niñas y d) tenga al menos una niña.
9. Selección de acciones. Una acción es selecciona al azar de una lista de 60 acciones, 40 de las cuales tienen un rendimiento anual de 10% o más. Encuentre la probabilidad de que a) la acción pague un dividendo anual de 10% o más y b) menos del 10%.
10. Calificaciones de examen. En un examen aplicado a 40 estudiantes, 10% obtuvieron una A, 25% una B, 35% una C, 25% una D y 5% una F. Si se selecciona al azar un estudiante, ¿cuál es la probabilidad de que a) recibiera una A, b) recibiera una A o B, c) no recibiera ni D ni F, y d) no recibiera una F? Responda las mismas preguntas suponiendo que el número de estudiantes al que se le aplicó el examen no sea conocido.
11. Selección de comité. De un grupo de dos mujeres y tres hombres, son seleccionadas dos personas al azar para formar un comité. Encuentre la probabilidad de que el comité consista solo en mujeres.
12. Calificación de un examen. Un estudiante responde de manera aleatoria, cada pregunta de un examen de 10 preguntas de falso-verdadero. Si cada pregunta tiene un valor de 10 puntos, ¿cuál es la probabilidad de que un estudiante obtenga a) 100 puntos y b) 90 o más puntos?
13. Mano de póker. Encuentre la probabilidad de que se reparta un full en una mano de póker.
14. Comité de facultad. La clasificación de personal académico de una universidad está indicada en la siguiente tabla:

[pic 20]

Si un comité de tres miembros es seleccionado al azar , ¿cuál es la probabilidad de que consista en a) sólo mujeres y b) un profesor y dos profesores asociados?

1. Dado cargado. Cuando un dado cargado es tirado, las probabilidades de 1, 3 y 5 son iguales, las probabilidades de 2, 4 y 6 son también iguales, pero son el doble de las de 1, 3 y 5, determine P(1).
2. Aumento de impuestos. Un cuerpo legislativo está considerando un aumento a los impuestos para apoyar la educación. Una encuesta de opinión de 100 votantes registrados fue realizada y los resultados se indican a continuación:

[pic 21]

Suponga que la encuesta refleja la opinión de la población que vota. Si una persona de esa población es seleccionada al azar, determine cada una de las siguientes probabilidades: a) P(a favor de un aumento de impuestos), b) P(en contra de que se aumenten los impuestos) y c) P(es republicano y no opinó).

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