Qué es la distribución normal?

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OBJETIVOS

Al concluir el modulo, será capaz de:

1. Enumerar las características de la distribución de probabilidad normal.

2. Definir y calcular valores z.

3. Determinar la probabilidad de que una observación se encuentre entre dos puntos en una distribución de probabilidad normal.

4. Determinar la probabilidad de que una observación se encuentre sobre (o debajo de) un punto en una distribución de probabilidad normal.

Qué es la distribución normal?

Es sin duda la distribución más importante de la estadística., se le llama distribución normal, distribución de Gauss o distribución gaussiana, es una de las distribuciones de probabilidad de variable continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales. La importancia de esta distribución radica en que permite modelar numerosos fenómenos naturales, sociales y psicológicos

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL

Una variable aleatoria continua, X, sigue una distribución normal de media μ y desviación típica σ, y se designa por N(μ, σ),

Su Probabilidad está dada por:

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Es el modelo de distribución más utilizado en la práctica, ya que multitud de fenómenos se comportan según una distribución normal.

La distribución de probabilidad normal posee las siguientes características principales.

Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución.

El área total bajo la curva es de 1.00, por lo cual podemos considerar que las áreas bajo la curva son probabilidades.. La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha del punto central, y la otra mitad, a la izquierda.

Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor central, a la curva normal, las dos mitades son imágenes espejo o simétricas.

Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la distribución es asintótica. La curva se aproxima más y más al eje X, sin tocarlo. En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.

La localización de una distribución normal se determina a través de la media  μ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación estándar σ.

Curva de la distribución normal

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El campo de existencia es cualquier valor real, es decir, (-∞, +∞).

Es simétrica respecto a la media µ.

Tiene un máximo en la media µ.

Crece hasta la media µ y decrece a partir de ella.

En los puntos µ − σ y µ + σ presenta puntos de inflexión.

El eje de abscisas es una asíntota de la curva.

El área  (bajo la curva) determinado por la función y el eje de abscisas (eje x) es igual a la unidad.

Al ser simétrica respecto al eje que pasa por x = µ, deja un área igual a 0.5 a la izquierda y otra igual a 0.5 a la derecha.

La probabilidad que equivale al área encerrada bajo la curva.

p(μ - σ  X  μ + σ) = 0.6826 = 68.26 %[pic 13][pic 14]

p(μ - 2σ  X  μ + 2σ) = 0.954 = 95.4 %[pic 15][pic 16]

p(μ - 3σ  X  μ + 3σ) = 0.997 = 99.7 %[pic 17][pic 18]

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD NORMAL ESTÁNDAR

La distribución de probabilidad normal estándar  es única, pues tiene una media de 0 y una desviación estándar de 1.En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar diferentes de uno

Cualquier distribución de probabilidad normal puede convertirse en una distribución de probabilidad normal estándar. Los resultados reciben el nombre de valores z o valores tipificados.

VALOR NORMAL ESTÁNDAR

Para poder utilizar la tabla tenemos que transformar la variable X que sigue una distribución N(μ, σ) en otra variable Z que siga una distribución N(0, 1). Para calcular el valor z, el proceso es el siguiente:

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Fórmula para convertir una distribución normal en una distribución normal estándar.

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