Tasas De Interés

Conversión de Tasas de Interés

1. Interés Simple

Definición de variables

P = Principal o Valor Presente (PV) = Monto original de dinero adeudado o depositado en una cuenta; es también el PV del monto futuro a pagar o recibir después de t = n períodos.

F= Valor Futuro (FV) de P, incluyendo el total de intereses ($ I) ganados o adeudados después de t = n períodos.

I= El monto de intereses ($) por pagar o recibir después de t = n períodos.

i = Es la tasa de interés periódica (%) aplicable a P.

Relaciones:

F = P + I

$I = P * i * n

F = P + P * i * n = P. (1 + i * n)

Usualmente la tasa de interés se especifica para un periodo determinado (llamado t1), normalmente un año (es decir, una tasa anual ⇔ t1 = un año). Suponiendo que los n períodos entre F y P son meses (en general, t2) y la relación entre t1 y t2 se puede escribir formalmente como t1 = m * t2

Entonces, se puede transformar la tasa dada -- t1 – en la tasa requerida – t2 – dividiendo el i dado entre m ⇔ i / m ⇔ esta tasa se utilizará para resolver problemas de conversión de intereses.

i = 12% interés anual simple, pero necesitamos meses => 0.12/12 = 1% tasa mensual.

i = 12% interés anual simple, pero necesitamos día => 0.12/360 = 0.0333% tasa diaria.

Con estas tasas transformadas, se puede proceder a aplicar las relaciones mencionadas anteriormente.

2. Interés Compuesto

Tenemos las mismas variables, pero su relación cambia. Para el interés simple siempre se aplica la tasa i al principal P, para cualquier periodo, siendo entonces

($ I = P * i * n), y los intereses ganados en períodos anteriores no generan intereses en períodos posteriores. Con el interés compuesto esta situación cambia radicalmente.

Presentaremos a continuación un marco general de conversión de tasas de interés compuestas.

La tasa de interés dada siempre especifica dos cosas: Un período de referencia, normalmente un año (t1) y el período o intervalo en lo cual se capitaliza el interés ganado hasta el momento (período de capitalización o conversión (t2)). Si (t1) no se especifica, por default es un año. Ejemplo: Una tasa de 12% anual capitalizable mensualmente.

Sin embargo, independientemente de cómo se especifica la tasa dada, para calcular P o F, y cálculos de anualidades, se necesita una tasa efectiva. Una tasa efectiva (k) es una tasa que solo se capitaliza una vez al final de cada uno de los n períodos entre P y F. Es decir, no hay capitalización intra-período. Llamando a estos periodos t3, donde t3 puede ser >, = ó < que t1 o t2, necesitamos, entonces, una tasa efectiva para intervalos t3.

Ya que ahora tenemos tres—posibles (diferentes) períodos, t1, t2, y t3—y t1 puede ser >, =, o < que t2, y t2 puede ser igualmente >, =, o < que t3, tenemos un total de 3 x 3 = 9 posibles combinaciones:

1. t1 = t 2 = t3

2. t1 = t 2 < t3

3. t1 = t 2 > t3

4. t1 > t 2 > t3

5. t1 > t 2= t3

6. t1 > t 2 < t3

7. t1 < t 2> t3

8. t1 < t 2= t3

9. t1 < t 2 < t3

Queremos que todas estas combinaciones estén cubiertas por una única fórmula. Por lo tanto definimos dos variables adicionales (auxiliares), m y j, de modo que:

t1 = m*t2 donde m = t1/t2

t3 = j*t2 donde j = t3/t2

Donde ambas variables, m y j, pueden ser fracciones (es decir < 1).

Nota: para simplificar la notación, de aquí e. a. se omite la referencia al tiempo t en lugares donde no puede haber confusión, y nada más se indica con un número a qué período se está haciendo referencia). Por ejemplo, i(t1) = i1.

Ahora una tasa efectiva para el periodo t2, es decir una tasa que concuerda con el intervalo de capitalización, se obtiene dividiendo la tasa dada i1 entre m: i2= i1 / m.

Finalmente, la tasa efectiva requerida para el intervalo t3 (k), se obtiene k = (1 + i2)j – 1 (o, alternativamente, k = (1 + i1/m)j – 1).

Ahora k puede ser utilizada como la tasa de interés para las siguientes relaciones, las cuales se aplican para situaciones de interés compuesto:

F = P *( 1 + k)n ó, F = P. (1 + i/m)j.n

P = F / ( 1 + k)n ó, P = F / (1 + i/m)j.n

n = log(F/P) / log( 1 + k)

k = (F/P) 1/n – 1

Notas:

1. Existe una tasa que aplica igualmente para interés simple e interés compuesto, esta es la tasa de periodo efectivo (“effective period rate”). Si queremos saber cual es el rendimiento sobre una inversión realizada al t=0 por un monto P, el cual después de cierto periodo (puede ser, cualquier periodo, por ejemplo, 2 años, más 3 meses y 5 días) crecerá a F, simplemente se aplica la relación descrita al inicio del documento.

F = P + I F – P = I (F – P)/P = I/P ó F/P – 1 = I/P = Tasa Efectiva del Período = Rendimiento Efectivo Ganado durante todo el Periodo.

2. “n” puede ser un periodo fraccionado; por ejemplo 4.5 semestres o 3.2 meses. No hay nada en contra de utilizar números con decimales, por ej. 4.5 como exponentes. En realidad esto es teóricamente correcto (exacto). Sin embargo, en ocasiones se aplica la llamada “comercial rule”. Esta regla separa los períodos enteros de la parte fraccional. La capitalización (es decir, interés compuesto) se utiliza para los períodos enteros, mientras que para el período fraccionado se usa interés simple.

Finalmente, podemos

...