ESTADISTICA

EJERCICIOS DESARROLLADOS

1.- ejercicio.

Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000, $40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X representa la ganancia del jugador:

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

Rta:

Probabilidad de sacar cara en la primera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara = 1/2 ==> P(C) = 1/2 ==> P ($ 2000) = 1/2

Probabilidad de sacar cara en la segunda tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez = 1/2 . 1/2 ==> P (no C; C) = 1/4 ==> P ( $ 4000) = 1/4

Probabilidad de sacar cara en la tercera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga cara = 1/2 . 1/2 . 1/2 ==> P(no C; no C; C) = 1/8 ==> P( $ 8000) = 1/8

Probabilidad de no sacar cara en ninguna de las tres tiradas = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga ceca = 1/2 . 1/2 . 1/2 ==> P (no C; no C; noC) = 1/8 ==> P ( - $ 20000) = 1/8

Ganancia esperada = $2000 . P ($2000) + $4000. P($4000) + $8000 . P($8000) + (- $20000) . P (- $ 20000) =

Ganancia esperada = $2000 . 1/2 + $4000 . 1/4 + $8000 . 1/8 + (- $20000) . 1/8

Ganancia esperada = $1000 + $1000 + $1000 + (- $2500) = $ 500Probabilidad de sacar cara en la primera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga cara = 1/2 ==> P(C) = 1/2 ==> P ( $ 2000) = 1/2

Probabilidad de sacar cara en la segunda tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga cara la segunda vez = 1/2 . 1/2 ==> P (no C; C) = 1/4 ==> P( $ 4000) = 1/4

Probabilidad de sacar cara en la tercera tirada = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga cara = 1/2 . 1/2 . 1/2 ==> P (no C; no C; C) = 1/8 ==> P ($ 8000) = 1/8

Probabilidad de no sacar cara en ninguna de las tres tiradas = Probabilidad de tirar una moneda y que salga ceca la primera vez y volver a tirarla y que salga ceca la segunda vez y volver nuevamente tirarla y que salga ceca = 1/2 . 1/2 . 1/2 ==> P(no C; no C; noC) = 1/8 ==> P( - $ 20000) = 1/8

Ganancia esperada = $2000 . P ($2000) + $4000. P ($4000) + $8000. P ($8000) + (- $20000). P (- $ 20000) =

Ganancia esperada = $2000 . 1/2 + $4000. 1/4 + $8000. 1/8 + (- $20000). 1/8

Ganancia esperada = $1000 + $1000 + $1000 + (- $2500) = $ 500

2.- ejercicio

Sea X una variable aleatoria con función de densidad

F (x) = a (4x - x3) 0 _ x _ 2

0 en otro caso

a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de probabilidad

b.- Calcule P (1 < X < 1,5)

De acuerdo con la definición de una función de probabilidad, la integral de la función evaluada entre los límites establecidos debe ser 1.0, así:

a(4x - x^3)dx = 1 --> a(2x^2 - x^4/4) evaluada entre 0 y 2 = 1 --> a(2(2)^2 - 2^4/4) = 1 -->

a(8 - 4) = 1 --> 4a = 1 --> --> a = 1/4

b) simplemente cambiamos los limites a 0 - 1,5 -->

P(0 - 1,5) = 1/4 (2(1,5)^2 - 1,5^4/4) = 1/4 (9/2 - 81/64) = 207/256 = 0,8086

3- ejercicio.

Se sabe que 60% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que

a) ninguno contraiga la enfermedad;

N= 5 5C0 (.4)0 (.6)5 = .07776

P= 40

Q= 60

X= 0

b) menos de 2 contraiga la enfermedad;

N= 5 5C1 (.4)1 (.6)4 = .2592

P= 40 5C0 (.4)0 (.6)5 = .07776

Q= 60

X= 0, 1

P= .33696

c) mas de 3 contraigan la enfermedad

N= 5 5C4 (.4)4 (.6)1 = .0768

P= 40 5C5 (.4)5 (.6)0= .01024

Q= 60

X= 4, 5

P= .08704

4.- ejercicio

Una compañía fabricante utiliza un esquema de aceptación de producción de artículos antes de que se embarquen. El plan tiene dos etapas. Se preparan cajas de 25 artículos para su embarque y se prueba una muestra de 3 en busca de defectuosos. Si se encuentra alguno defectuoso, toda la caja se regresa para verificar el 100%. Si no se encuentran defectuosos, la caja se embarca.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que se embarque una caja que contiene 3 defectuosos?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que una caja que contiene solo 1 artículo defectuoso se regrese

Para su revisión?

DEFECTUOSA BAJO CONTROL P (D / BC) = 0.05

DEFECTUOSA BAJO NO CONTROL P (D / BNC) = 0.3

BAJO CONTROL P (BC) = 0.92

BAJO NO CONTROL P (BNC)= 0.08

P(BC/D) = P(D/BC)P(BC) / (P(D/BC)P(BC) + (P(D/BNC)P(BNC))

= 0.05*0.92 / ( 0.05*0.92

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