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a3ACTIVIDADES

01. Ingrese el problema ejemplo 1 y 2 de la presente práctica en sus dos formas (Primal y dual) al LINDO o WinQsb, compare los resultados de las tablas generadas y emita sus conclusiones.

Ejemplo 1:

Forma primal

Max. Z = 5X1 + 4X2

st

6X1 + 4X2  24

X1 + 2X2  6

-X1 + X2  1

X2  2

Forma Dual

Min. B = 24Y1 + 6Y2 + Y3 + 2Y4

st

6Y1 + Y2 – Y3  5

4Y1 + 2Y2 + Y3 + Y4  4

Y1  0

Y2  0

Y3  0

Y4  0

Soluciones:

Primal Dual

Z = 21 B = 21

X1 =3 Y1 =0.75

X2 = 1.5 Y2 =0.5

Y3 = 0

Y4 =0

PSLD1=0.75 PSLD1=3

PSLD2 = 0.5 PSLD1=1.5

Conclusiones:

La solución optima para este ejercicio tanto en la forma primal como en la forma dual son las mismas (Z=21 y B=21); las resultados de de producción optima para la forma primal(X1=3;X2 =1.5) es el precio sombra de la forma dual(PSLD1=3 ; PSLD2=1.5) y viceversa la producción optima de la forma dual(Y1=0.75 ; Y2= 0.5 ) es el precio sombra de la forma primal (PSld1=3 ; PSLD2= 1.5).

Ejemplo 2

Supóngase que un fabricante tiene dos recursos disponibles, R1 y R2. Estos recursos pueden usarse para producir dos productos diferentes A y B, de acuerdo con las siguientes reglas:

Cantidad

Actividad de recurso

Tipo de recurso A B disponible

R1 1 h-h 1 h-h 3 h-h

R2 4 h-m 2 h-m 8 h-m

Contribución unitaria $3.5 $2.5

Cuántas unidades de A y B se debe producir para maximizar las ganancias?

Este es un problema de mezcla de productos. Si se expresa el problema en el formato del modelo de programación lineal se tiene:

Max Z= 3.5A+2.5B

St

A+B≤3

4A+2B≤8

A,B≥0

Asociando las variables r1 y r2 a las restricciones 1 y 2 respectivamente, tenemos que el modelo general del otro problema llamado dual es:

Min W= 3r1+8r2

St

R1+4R2≥3.5

R1+2R2≥2.5

R1, R2≥0

Soluciones:

Primal Dual

Z = 8,5 W = 8,5

A1 =1 R1 = 1,5

B2 = 2 R2 = 0,5

PSLD1 = 1,5 PSLD1 = 1

PSLD2 = 0,5 PSLD2 = 2

Conclusiones:

La solución optima para este ejercicio de la forma primal como en la dual es la misma esto se comprueba en las tablas (Z = 8.5; W = 8.5) y las producción optima para la forma primal (A1 = 1; B2 =2) Es el precio sombra de la forma dual y viceversa respectivamente. Concluimos que esta comprobado este método de desarrollo.

Los precios mínimos que debe cobrar el fabricante son $1.50 por unidad de recurso R1 y $0.50 por unidad de recurso R2. Nótese que tanto el problema primal como el problema dual dan el mismo valor de la función objetivo: $8.50. Esto era de esperarse, ya que el fabricante no aceptaría menos dinero por los recursos del que podría obtener usándolos en su producción.

02. Convierta los siguientes problemas en sus respectivos duales, y halle los resultados de ambos modelos (Primal y Dual) por el LINDO o WinQsb. Verifique cada una de las respuestas y analice.

Forma primal

Max Z = 5X1 + 12X2 + 4X3

X1 + 2X2 + X3  10

2X1 – X2 + 3X3 = 8

Forma dual

MIN B = 10Y1+ 8Y2 – 8Y3

Y1 + 2Y2 -2Y3  5

2Y1 – Y2 + Y3  12

Y1 + 3Y2 - 3Y3  4

SOLUCIONES:

Primal Dual

Z = 54.8 B = 54.2

X1 = 5.2 Y1 = 5.8

X2 = 2.4 Y2 = 0

X3 =0 y3 = 0.4

PSLD1 =5.8 PSLD1 = 5.2

PSLD2 = -0.4 PSLD2 = 2.4

Análisis:

Para el ejercicio el punto optimo es el mismo (Z =54.8;B =54.8 ) las variables optimas son (X1 = 5.2; X2 = 2.4; X3 =0) que son igual al precio sombra de la forma dual (PSLD1 = 5.2; PSLD2 = 2.4) y los precios sombra de la forma primal son los mismo que las variables optimas de la forma dual; sin embargo en el precio sombra de la forma primal (PSLD2 = -0.4) esta con signo negativo esto nos indicara incremento o disminución que afectara a la función objetivo. 

Forma primal

Min 15X1 + 12X2

X1 + 2X2  3

2X1 – 4X2  5

Función dual

Max 3y1 + 5y2

Y1 - 2y2  15

2y2 + 4y2  12

Soluciones:

Primal Dual

Z = 18 B = 18

X1 = 0 Y1 = 6

X2 = 1,5 Y2 = 0

PSLD1 = 6 PSLD1 = 0

PSLD2 = 0 PSLD2 = 1,5

Análisis:

En este ejercicio el punto optimo es el mismo (Z = 18; B = 18) y las variables optimas de la forma primal (X1 = 0; X2= 1.5) son el precio sombra de la forma dual (PSLD1 = 0; PSLD2 = 1,59). Esto se puede observar claramente en los cuadros. Esto viceversa para el otro caso. 

Forma primal

Max Z = 3X1 + 5X2

X1  4

2X2  12

3X1 + 2X2  18

Forma dual

Min B =4y1 +12y2 +18 y3

1y1 +3y3  3

2y2 +2y3  5

Soluciones:

Primal Dual

Z = 36 B = 36

X1 = 2 Y1 = 0

X2 = 6 Y2 = 1.5

Y3 = 1

PSLD1 = 1.5 PSLD1 = 2

PSLD2 = 1 PSLD2 = 6

Análisis:

La solución optima para este problema es la misma (Z = 36; B = 36) y las variables optimas(x1 = 2; x2 = 6) para la forma primal son el precio sombra de la forma dual (PSLD1 = 2; PSLD2 = 6) y así viceversa.

3. Una fábrica ha seguido constantemente una política de fabricación de aquellos productos que contribuyan con la mayor cantidad a los costos fijos y a las ganancias. Sin embargo, siempre se ha procurado producir los requerimientos mínimos semanales de ventas, que son los siguientes para los productos K,

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