TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÒN DE UN NÚMERO COMPLEJO

NSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR

DE ALVARADO

INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

Materia:

ALGEBRA LINEAL

Semestre - Grupo:

3º SEMESTRE - GRUPO “A”

Producto Académico:

INVESTIGACIÓN

Tema:

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÒN DE UN NÚMERO COMPLEJO

ECUACIONES POLINÓMICAS

Alumnos

KIMBERLY DELFIN GALOS

H. Y G. ALVARADO, VER. AGOSTO-ENERO DEL 2011

ÍNDICE

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Introducción………………………………………………………………………………..

Teorema De Moivre, Potencias Y Extracción De Un Número Complejo……………

Teorema…………………………………………………………………………….

Fórmula………………………………………………………………………………

Aplicaciones………………………………………………………………………..

Potencia…………………………………………………………………………...

Raíces……………………………………………………………………………..

Ecuaciones Polinómicas………………………………………………………………...

Forma Canónica…………………………………………………………………..

Grado………………………………………………………………………………

Transposición……………………………………………………………………..

Simplificación……………………………………………………………………..

Despejar……………………………………………………………………………

Igualdad De Polinomios………………………………………………………….

Polinomios En Una Indeterminada……………………………………………...

Conclusión………………………………………………………………………………..

Anexos……………………………………………………………………………………

Bibliografía…………………………………………………………………………….....

TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCIÒN DE UN NÚMERO COMPLEJO

Fórmula para calcular las potencias zn de un

número complejo z.

El teorema de De Moivre establece que si un número complejo z = r (cos x + i sin x), entonces zn = rn (cos nx + i sin nx), en donde n puede ser enteros positivos, enteros negativos, y exponentes fraccionarios.

Teorema

En probabilidad el teorema de Moivre-Laplace es una aproximación normal a la distribución binomial. Se trata de un caso particular del Teorema central del límite. Establece que la distribución binomial del número de éxitos en n pruebas independientes de Bernoulli con probabilidad de éxito p en cada intento es, aproximadamente, una distribución normal de media np y desviación típica, si n es suficientemente grande y se satisfacen determinadas condiciones.

El teorema apareció por primera vez en la segunda edición de The Doctrine of Chances, de Abraham de Moivre, publicado en 1738. Los "ensayos de Bernoulli" no se llamaron así en ese libro, pero De Moivre escribió lo suficiente sobre la distribución de probabilidad del número de veces que aparecía "cara" cuando se lanzaba una moneda 1800 veces.

Si, entonces para k en el entorno -de np, se puede aproximar[1] [2]

En forma de límite el teorema establece que:[1] [2]

Cuando

Fórmula

La fórmula de De Moivre nombrada así por Abraham de Moivre afirma que para cualquier número complejo (y en particular, para cualquier número real) x y para cualquier entero n se verifica que:

Esta fórmula es importante

porque conecta a los números complejos (i significa unidad imaginaria) con la trigonometría. La expresión "cos x + i sen x" a veces se abrevia como cis x.

Al expandir la parte izquierda de la igualdad y comparando la parte real con la imaginaria, es posible derivar expresiones muy útiles para cos(nx) y sen(nx) en términos de cos(x) y sen(x).

Además, esta fórmula puede ser utilizada para encontrar expresiones explícitas para la enésima raíz de la unidad, eso es, números complejos z tal que zn = 1.

Abraham De Moivre fue amigo de Newton; en 1698 éste último escribió que ya conocía dicha fórmula desde 1676.

Aplicaciones

Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.

Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.

Potencia

Para obtener la potencia del número complejo se aplica la fórmula:

Sea z = rx un número complejo en forma polar. Para calcular su potencia n-ésima, bastará con multiplicarlo por sí mismo n veces, con lo que se obtiene:

Zn = z•z•...(n veces)...•z = (rx)•(rx)•...(n veces)...•(rx) = (r•r•...(n veces)...•r)x+x+...(n veces)..+x = (rn)n•x

Es decir,

(rx)n = (rn)n•x

Si escribimos el número z en forma trigonométrica obtenemos:

z = r• (cos x + i•sen x) ==> zn = rn• (cos x + i•sen x) n = rn• (cos n•x + i•sen n•x)

De donde:

cos(n•x) + i•sen(n•x) = (cos x + i•sen x)n expresión que recibe el nombre de fórmula de Moivre.

Como aplicación de esta fórmula podemos obtener las razones trigonométricas seno y coseno de múltiplos de un ángulo conocidas las razones trigonométricas del ángulo.

Ejemplo:

Conocidos cos x y sen x, calculemos cos 4x y sen 4x:

cos 4x + i•sen 4x = (cos x + i•sen x)4 = (40)•cos4x + (41)•cos3x•i•sen x + (42)•cos2x•i2•sen2x + (43)•cos x•i3•sen3x + (44)i4•sen4x = cos4x + 4•i•cos3x•sen x - 6•cos2x•sen2x - 4•i•cos x•sen3x + sen4x = (cos4x - 6•cos2•sen2x + sen4x) + (4•cos3x•sen x - 4•cos x•sen3x)•i

Como dos complejos son iguales si y sólo si lo son sus partes reales así como sus partes imaginarias, tenemos que:

Cos 4x = cos4x

...