El concepto de integral

4gtf4g4g3.4. Integral de línea

El concepto de integral definida no es tan fácilmente generalizable. Recordemos que en el caso real la integral definida real ∫ abf(x)dx se obtiene integrando en un intervalo de números reales [a,b].

En el plano complejo hay diferentes trayectorias de aproximación entre dos puntos, y el concepto equivalente al de intervalo de integración es el de un arco de curva de trayectoria de integración C.

Figura 19: Tres trayectorias para ir del punto 2 + 2i al punto 7 + 5i

La curva de trayectoria de integración C a menudo se puede representar con una función de variable real que depende de un parámetro: C : z(t) = x(t) + iy(t)ambt,a,b ∈ℝ,a <t <b.

Se dice que C es una curva suave si su derivada

z'(t) = dz dt = dx dt + idy dt es continua.

PPor ejemplo, en la figura 19 la trayectoria C1 no es una curva suave porque hay un punto (7 + 2i) en el que no es derivable; en cambio, las otras dos sí que son curvas suaves. La expresión paramétrica de la curva C2 (un segmento de recta) es la siguiente:

z(t) = (2+2i)+t·[(7+5i)-(2+2i)] = 2+5t+i·(2+3t),ambt ∈ℝ,0 <t <1.

Para introducir el concepto de integral de línea, que es la generalización de integral definida real al caso de funciones complejas, supongamos que f(z) es una función compleja continua definida en cada punto de una trayectoria correspondiente a una curva suave C : z(t) = x(t) + iy(t), a <t <b.

A la partición en n partes del intervalo [a,b] de números reales

t0 = a,t1,...,tk-1,tk,...,tn = b

le corresponde en la curva C una subdivisión que viene dada por la partición

z0 = z(t0),...,zn = z(tn).

En cada subdivisión de C se toma un punto wk entre zk-1 y zk (para cada k = 1,..,n). Observad la figura 20.

Figura 20: Partición de la trayectoria de integración

Ahora se define la suma: S n = ∑ k = 1 n f ( w k ) · ( z k − z k − 1 )

El límite de las sumas anteriores, cuando el número de subdivisiones de la curva C crece hacia infinito

lim n → ∞ S n = ∫ C f ( z ) dz

se llama integral de línea (o simplemente integral definida) de f(z) sobre la curva trayectoria de integración C.

Propiedades básicas de la integración compleja:

La integración es lineal:

∫ C ( λ f ( z ) + μg ( z ) ) dz = λ ∫ C f ( z ) dz + μ ∫ C g ( z ) dz .

La trayectoria de integración se puede descomponer:

∫ Cf(z)dz = ∫ C1f(z)dz + ∫ C2f(z)dz con C1 y C2 subdivisiones de C.

La trayectoria de integración se puede invertir:

∫ z0znf(z)dz = -∫ znz0f(z)dz.

Si C és una trayectoria cerrada (el punto inicial coincide con el punto final), se utiliza también la notación siguiente:

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