Ejercicios en digital

1. Un snowboarder se encuentra en el descanso superior de una colina. A medida que desciende por la pendiente se utilizan las coordenadas del GPS para determinar su desplazamiento en función del tiempo:

X = 0.5t² + t² +2t

Donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determinar la posición, velocidad y aceleración en el borde de la colina cuando t = 5 segundos.

Resolución:

(Para hallar la posición reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

X = 0.5t² + t² +2t

x = 0.5 * 5² + 5² +2 *5

x= 97.5 ft

 (Derivamos la ecuación de posición con respecto al tiempo para hallar la ecuación de la velocidad)

V = 1.5t + 2t +2

(Reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

V = 1.5 *5 + 2 *5 + 2

V = 49.5 ft/s

 (Hallamos la segunda derivada para obtener la ecuación de la aceleración)

 a = 3t + 2

(Reemplazamos el valor de t = 5 en la ecuación)

a = 3 * 5 + 2

a = 17 ft/s²

1. El movimiento de una partícula se define por la relación: 2t³ -9t² +12t +10. Donde x y t se expresan en pies y segundos respectivamente. Determine el tiempo, la posición y la aceleración de la partícula cuando v = 0

Resolución:

 (Tenemos como dato la velocidad, por lo tanto, debemos hallar la primera derivada de la ecuación de posición y reemplazar el valor de la velocidad para obtener los tiempos)

V = 6t² -18t +12

0 = 6t² -18t +12

Utilizando la formula general obtenemos dos tiempos:  t1 = 2 ^ t2 = 1

 (Ahora sabemos que en t1 = 2 ^ t2 = 1 la velocidad será 0, por lo tanto, reemplazamos en las ecuaciones de posición y aceleración respectivamente)

X = 2t³ -9t² +12t +10

X1 = 2 *2³ - 9*2² +12*2 +10

X1 = 14 ft

X = 2t³ -9t² +12t +10

X2 = 2 *1³ - 9*1² +12*1 +10

X2 = 15 ft

a = 12t -18

a1 = 12 *2 – 18

a1 = 6  ft/s²

a = 12t -18

a2 = 12 *1 – 18

a2 = -6 ft/s²

1. El movimiento vertical de la masa A está definida por la relación x = 10sen(2t) + 15cos(2t) + 100, donde x y t se expresan en mm y segundos respectivamente. Determine:

1. La posición, velocidad y aceleración de A cuando t = 1 seg.

(Para obtener la posición en t = 1 reemplazamos en la ecuación que nos da el ejercicio)

X = 10sen (2t) + 15 cos(2t) + 100

X = 10sen (2*1) + 15 cos(2*1) + 100

X = 115.34 mm

(Determinamos la primera derivada de la ecuación de posición respecto al tiempo y reemplazamos t = 1)

 V = 20cos(2t) - 30sen (2t)

V = 20cos(2*1) - 30sen (2*1)

V = 18.94 mm/s

(Determinamos la segunda derivada de la ecuación de posición respecto al tiempo y reemplazamos t = 1)

a = -40sen(2t) -60cos(2t)

a = -40sen(2*1) -60cos(2*1)

a = -61.36 mm/s²

b) La máxima velocidad y aceleración de A

(Sabemos que un cuerpo alcanza su máxima velocidad cuando su aceleración es 0, aplicamos esto en la ecuación de aceleración)

0 = -40sen(2t) – 60cos (2t)

40sen(2t) = -60cos(2t)

[pic 1]

tan(2t) = -1.5

2t = -56.3 ---------- transformar de sexagesimales a radianes

                                                        -56.3 *∏/180

                                                        = -0.98 --- sumar ∏

                                                        = 2.158

t = 1.079

(Reemplazo el tiempo que tengo en la ecuación de la velocidad)

 V = 20cos(2t) - 30sen (2t)

V = 20cos(2*1.079) - 30sen (2*1.079)

V = 18.86 mm/s

aceleraciónmax = [pic 2]

aceleracionmax = 72. 11

1. El movimiento de una partícula se define por la relación - 2t³ -12t² +3t +3, donde x y t están expresadas en metros y segundo. Determine el tiempo, la posición y la velocidad cuando a = 0[pic 3]

(Vemos que como dato nos da una aceleración de 0 por lo tanto determinamos su ecuación y reemplazamos)

a = 72t² -12t -24

0 = 72t² -12t -24

Donde t = 0.67 s

(Ahora reemplazamos el valor obtenido en las ecuaciones de posición y velocidad)

X= - 2t³ -12t² +3t +3[pic 4]

X= - 2*0.67³ -120.67² +30.67 +3[pic 5]

X = 0.23 m

V = 24t³ -6t² -24t +3

V = 24*0.67³ -6*0.67² -24*0.67 +3

V = -8.56 m/s

1. El movimiento de una partícula está definida por la ecuación x= t³ -9t² +24t -8, donde x y t se expresan en pulgadas y segundos. Determine:

1. Cuando la v = 0

0 = t² -18t +24

T1 = 4 ^ t2 = 2

1. Posición y distancia total recorrida cuando la a = 0

(Luego de haber obtenido la segunda derivada de la ecuación de la posición, reemplazamos a = 0)

a = 6t -18

0 = 6t -18

t = 3

(luego reemplazamos el tiempo obtenido en la ecuación de la posición)

x= t³ -9t² +24t -8

x= 3³ -9*3² +24*3 -8

x = 10

(Debo encontrar la posición en donde inicio el movimiento asi que reemplazo t = 0 en la ecuación de la posición)

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