Espacios vectoriales. Esta definición pertenece a un álgebra demasiado abstracta

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Índice

Espacio vectorial        

Axiomas de un espacio vectorial        

Ejemplos de espacio vectorial        

Subespacio vectorial        

Teorema de subespacio        

Propiedades de subespacio vectorial        

Ejemplos de subespacio vectorial        

Bibliografía        

Espacio vectorial

Esta definición pertenece a un álgebra demasiado abstracta, debe tenerse en cuenta que para poder entender este concepto no se debe imaginar como algo físico. Un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de varios elementos matemáticos. un conjunto no vacío, una operación de vectores interna conocida como suma, definida para los elementos del conjunto y una operación externa de escalares llamada producto, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo, con 8 propiedades fundamentales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y los elementos del cuerpo o elementos externos se les conoce como escalares.

Dependiendo del número de elementos en los vectores se puede definir la dimensión del sistema o espacio, dos elementos representan un espacio bidimensional o de dos dimensiones (x,y), un espacio de tres elementos es tridimensional (x,y,z), los hay de 5 o hasta 6 dimensiones.

Axiomas de un espacio vectorial

Existe un conjunto de axiomas que debe cumplir cualquier espacio vectorial. Para su ejemplificación, se imagina un vector llamado “a” = b + c + d.

1.        Cerradura bajo la suma. - “la suma de dos elementos del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto”.

2.        Conmutatividad de la suma. - “el orden de os sumandos no altera el resultado de la suma” .

3.        Asociatividad de la suma. -“en una suma de vectores, no importa el orden cono se asocien las sumas entre dos, el resultado será siempre el mismo”.

4.        Existencia de inversos aditivos. - “cada elemento del conjunto posee un inverso aditivo; un elemento del conjunto que sumado al él da el neutro aditivo” .

5.        Existencia del elemento neutro.- “existe en el conjunto un elemento distinguido que sumado con cualquier elemento da como resultado el mismo segundo elemento” .

6.        Cerradura bajo la multiplicación por escalares.- “el resultado del producto entre cualquier elemento del conjunto debe dar como resultado también un elemento del conjunto” .

7.        Propiedad distributiva del producto .- “En un producto de un escalar por una suma de vectores, da lo mismo realizar la suma de los vectores y el resultado multiplicarlo por el vector que individualmente multiplicar cada vector por el escalar y después sumar los resultados”  .

8.        Propiedad distributiva del producto por escalares sobre la suma de escalares.-

“(a+b) • u = (a•u) + (b•u)”

9.        Propiedad asociativa del producto.-

“a•(b•u) = (ab) • u

10.        Axioma 10 o M5

“1•u = u”

Ejemplos de espacio vectorial

Enunciar algunos ejemplos de espacio vectorial puede resultar algo complicado, debido a que este tema es demasiado abstracto, pero teniendo conocimientos básicos en álgebra lineal, es posible entender los ejemplos.

• (R2, +,.)  

Este ejemplo se lee: conjunto R dos con la suma y el producto de escalares.

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