Teoría de la Información y la Codificación

Teoría de la Información y la Codificación

Reporte de la Actividad Presencial No 2

Modelos Probabilísticos

Nombre: Jaime Menéndez Álvarez                                              Matrícula: 2032313

1. Una tabla de tiro al blanco tiene pintado un círculo central en las coordenadas (0,0). Un dardo es arrojado hacia el centro pero cae en las coordenadas (X,Y). Si modelamos las coordenadas como variables aleatorias normalmente distribuidas e independientes. ¿Cuál sería la distancia promedio del punto (X,Y) al centro de la tabla?

El problema plantea un experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de un dardo hacia un círculo central donde las variables independientes involucradas serán X y Y distribuidas normalmente con media cero y una varianza que asumiremos como 1.

Para la solución de este problema simularemos en Matlab N muestras de dos variables aleatorias X y Y que siguen una distribución normal de media 0 y varianza 1. Estos valores X y Y representarán las coordenadas de cada uno de los lanzamientos del dardo al círculo central y para cada uno de ellos calcularemos la distancia euclidiana mediante la ecuación:

[pic 1]

Todos los N valores de d serán promediados con el objetivo de obtener la distancia promedio que es la variable que nos pide el problema.

El código para resolver el ejercicio se expone a continuación.

N = 1000;

P = randn(N,2);

dist = sqrt(P(:,1).^2 + P(:,2).^2);

m = mean (dist)

N, es la variable que contiene la cantidad de puntos que vamos a generar, mientras más grande seleccionemos N, más nos acercaremos al valor real de la distancia promedio, pero lo haremos aumentando significativamente el costo computacional.

P es una matriz de Nx2 que representa las coordenadas de impacto del dardo en el círculo central. La primera columna P(:,1) representa los valores de X y la segunda columna P(:,2) los valores de Y. Las dos variables aleatorias son independientes y fueron generadas por la función randn de Matlab que genera números aleatorios siguiendo la distribución normal con media 0 y varianza 1.

La variable dist es un vector de 1xN que contendrá la distancia de cada par (X,Y) hasta el centro del círculo y finalmente m contendrá la distancia promedio de lanzamiento del dardo ya que se realiza un promedio de la distancia dist a través de la función mean de Matlab.

Para visualizar los resultados y tener una idea más gráfica del problema se agregaron las siguientes líneas que básicamente grafican circunferencias que simulan la diana y plotean cada uno de las tuplas (X, Y) de los lanzamientos realizados. Se puede apreciar gran concentración de los puntos alrededor del punto cero y en menor medida mientras aumenta la distancia al centro de la diana. Esto es debido a la distribución normal de las variables aleatorias (X,Y).

Lanzamiento de un dado con N = 1000

[pic 2]

La distancia media es m = 1.267

A continuación se expone el código para generar la figura anterior en Matlab.

N = 1000;

P = randn(N,2);

dist= sqrt( P(:,1).^2 + P(:,2).^2);

m = mean (dist)

t=linspace(0,2*pi,N);

x=1*cos(t);

y=1*sin(t);

hold on

for i=1:4

    plot(i*x,i*y,'r','linewidth',15);

    plot((i-0.5)*x,(i-0.5)*y,'k','linewidth',15);

end

plot(P(:,1),P(:,2),'b*','LineWidth',2)

title(['Lanzamiento de un dado con N = ' num2str(N)])

xlabel(['La distancia media es m = ' num2str(m)])

1. Una moneda particular de 10 pesos tiene un 75 % de probabilidades de caer con un calendario azteca hacia arriba. Programe una simulación para calcular la probabilidad de obtener 3 calendarios aztecas exactamente en 4 lanzamientos consecutivos de la moneda.

El problema plantea un experimento aleatorio que consiste en el lanzamiento de una moneda alterada donde la probabilidad de caer con un calendario azteca hacia arriba es de 75%. La variable aleatoria que determina la probabilidad de un único lanzamiento de la moneda se puede modelar a través de Bernoulli con parámetro de probabilidad p = 0.75. Para más de un lanzamiento (en el caso del problema son 4) se utiliza la distribución binomial, por lo que esta es la que se empleará en este ejercicio.

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