Analisis De Señales

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GUÍA DE SEÑALES Y

SISTEMAS

Contenidos

Artículos

GENERALIADADES 1

Identidad de Euler 1

TIPOS DE SEÑALES 4

Señal analógica 4

Señal digital 6

Señal de audio 8

SISTEMAS LTI 9

Sistema LTI 9

Convolución 11

Deconvolución 16

SERIE DE FOURIER 18

Espectro de frecuencias 18

Serie de Fourier 20

Identidad de Parseval 24

Fenómeno de Gibbs 25

TRANSFORMADA DE LAPLACE 27

Transformada de Laplace 27

Transformada inversa de Laplace 32

Transformada de Laplace en circuitos 32

TRANSFORMADA DE FOURIER 36

Transformada de Fourier 36

TRANSFORMADA Z 41

Transformada Z 41

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA 48

Transformada de Fourier discreta 48

Referencias

Fuentes y contribuyentes del artículo 49

Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 50

Licencias de artículos

Licencia 51

1

GENERALIADADES

Identidad de Euler

Se llama identidad de Euler a un caso especial de la fórmula desarrollada por Leonhard Euler, notable por

relacionar cinco números muy utilizados en la historia de las matemáticas y que pertenecen a distintas ramas:

donde:

• π (pi) es el número más importante de la geometría

• e (número de Euler o constante de Napier) es el número más importante del análisis matemático

• i (imaginario) es el número más importante del álgebra

• 0 y 1 son las bases de la aritmética por ser los elementos neutros respectivamente de la adición y la multiplicación

Esta identidad se puede emplear para calcular π:

Derivación

Fórmula de Euler para un ángulo general.

La identidad es un caso especial de la

Fórmula de Euler, la cual especifica que

para cualquier número real x. (Nótese que los argumentos para las funciones trigonométricas sen y cos se toman en

radianes.) En particular si

entonces

Identidad de Euler 2

y ya que

y que

se sigue que

Lo cual implica la identidad

Para una forma alternativa de notar que la identidad de Euler es tanto verdadera como profunda, supongamos que:

en la expansión polinomial de e a la potencia x:

para obtener:

simplificando (usando i2 = -1):

Al separar el lado derecho de la ecuación en subseries real e imaginarias:

Se puede comprobar la convergencia de estas dos subseries infinitas, lo cual implica

Logaritmos de números negativos

Durante la historia ha habido disputas sobre cómo calcular los logaritmos de números negativos. Gracias a la

identidad de Euler, dicha disputa ha sido zanjada. Si queremos calcular, por ejemplo, podemos proceder

de la siguiente manera:

Sabiendo que :

Identidad de Euler 3

Referencias

• Crease, Robert P., "The greatest equations ever [1]", PhysicsWeb, October 2004 (registration required).

• Crease, Robert P. "Equations as icons [2]," PhysicsWeb, March 2007 (registration required).

• Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics (New

York: Penguin, 2004).

• Kasner, E., and Newman, J., Mathematics and the Imagination (Bell and Sons, 1949).

• Maor, Eli, e: The Story of a number (Princeton University Press, 1998), ISBN 0-691-05854-7

• Nahin, Paul J., Dr. Euler's Fabulous Formula: Cures Many Mathematical Ills (Princeton University Press, 2006),

ISBN 978-0691118222

• Reid, Constance, From Zero to Infinity (Mathematical Association of America, various editions).

• Sandifer, Ed, "Euler's Greatest Hits [3]", MAA Online, February 2007.

• Jayadev, C, "The Greatest equation ever [4]"

• Weisstein, Eric W.. «Euler Formula [5]» (en inglés). MathWorld--A Wolfram Web Resource. Consultado el

15-05-2009.

Véase también

• Leonhard Euler

• Fórmula de Euler

Referencias

[1] http:/ / physicsweb. org/ articles/ world/ 17/ 10/ 2

[2] http:/ / physicsweb. org/ articles/ world/ 20/ 3/ 3/ 1

[3] http:/ / www. maa. org/ editorial/ euler/ How%20Euler%20Did%20It%2040%20Greatest%20Hits. pdf

[4] http:/ / www. dontforgettothink. com/ 2010/ 04/ 18/ the-greatest-equation-ever/

[5] http:/ / mathworld. wolfram. com/ EulerFormula. html

4

TIPOS DE SEÑALES

Señal analógica

Ejemplo de señal analógica.

Una señal analógica es un tipo de señal generada por algún tipo de

fenómeno electromagnético y que es representable por una función

matemática continua en la que es variable su amplitud y periodo

(representando un dato de información) en función del tiempo.

Algunas magnitudes físicas comúnmente portadoras de una señal de

este tipo son eléctricas como la intensidad, la tensión y la potencia,

pero también pueden ser hidráulicas como la presión, térmicas como la

temperatura, mecánicas, etc. La magnitud también puede ser cualquier

objeto medible como los beneficios o pérdidas de un negocio.

En la naturaleza, el conjunto de señales que percibimos son analógicas,

así la luz, el sonido, la energía etc, son señales que tienen una variación continua. Incluso la descomposición de la

luz en el arcoiris vemos como se realiza de una forma suave y continúa.

Una onda senoidal es una señal analógica de una sola frecuencia. Los voltajes de la voz y del video son señales

analógicas que varían de acuerdo con el sonido o variaciones de la luz que corresponden a la información que se está

transmitiendo.

Señal eléctrica analógica

Señal eléctrica analógica es aquella en la que los valores de la tensión o voltaje varían constantemente en forma de

corriente alterna, incrementando su valor con signo eléctrico positivo (+) durante medio ciclo y disminuyéndolo a

continuación con signo eléctrico negativo (–) en el medio ciclo siguiente.

El cambio constante de polaridad de positivo a negativo provoca que se cree un trazado en forma de onda senoidal.

Señal Digital como una señal Analógica Compuesta

Basándose en el análisis de Fourier, una señal digital es una señal analógica compuesta. El ancho de banda es

infinito, como se podría intuir. Se puede llegar a este concepto si se estudia una señal digital. Una señal digital, en el

dominio del tiempo, incluye segmentos horizontales y verticales conectados. Una línea vertical en el dominio de

tiempo significa una frecuencia infinita. Mientras que el tramo horizontal representa una frecuencia cero. Ir de una

frecuencia cero a una frecuencia infinito (y viceversa) implica que todas las frecuencias en medio son parte del

dominio. El análisis de Fourier se puede usar para descomponer una señal. Si la señal digital es periódica, lo que es

raro en comunicaciones, la señal descompuesta tiene una representación en el dominio de frecuencia con un ancho de

banda infinito y frecuencias discretas. Si la señal digital es aperiódica, la señal descompuesta todavía tiene un ancho

de banda infinito, pero las frecuencias son continuas.

Señal analógica 5

Desventajas en términos electrónicos

Ejemplo de ruido en señal analógica.

Las señales de cualquier circuito o comunicación electrónica son

susceptibles de ser modificadas de forma no deseada de diversas

maneras mediante el ruido, lo que ocurre siempre en mayor o menor

medida. Para solucionar esto la señal suele ser acondicionada antes de

ser procesada.

La gran desventaja respecto a las señales digitales es que en las señales

analógicas cualquier variación en la información es de difícil

recuperación, y esta pérdida afecta en gran medida al correcto

funcionamiento y rendimiento del dispositivo analógico. Un sistema de control (ya pueda ser un ordenador, etc.) no

tiene capacidad alguna para trabajar con señales analógicas, de modo que necesita convertirlas en señales digitales

para poder trabajar con ellas. (Véase Conversión analógica-digital)

Ejemplo de un sistema analógico

Un ejemplo de sistema electrónico analógico es el altavoz, que se emplea para amplificar el sonido de forma que éste

sea oído por una gran audiencia. Las ondas de sonido que son analógicas en su origen, son capturadas por un

micrófono y convertidas en una pequeña variación analógica de tensión denominada señal de audio. Esta tensión

varía de manera continua a medida que cambia el volumen y la frecuencia del sonido y se aplica a la entrada de un

amplificador lineal. La salida del amplificador, que es la tensión de entrada amplificada, se introduce en el altavoz.

Éste convierte, de nuevo, la señal de audio amplificada en ondas sonoras con un volumen mucho mayor que el

sonido original captado por el micrófono.

Ejemplos de aquellos sistemas analógicos que ahora se han vuelto digitales

Fotografías: La mayoría de las cámaras todavía

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