Analisis de redes hidraulicas mediante MatLab (cat)

P.3. La xarxa de distribució de la figura ha de subministrar els cabals nodals indicats alimentant-se dels dipòsits A i B. Les cotes geomètriques (zi) i alçàries piezomètriques desitjades de treball (H*i) s’indiquen a la Taula 1 P3. Punts de la corba característica de la bomba es donen a la Taula 2 P3. La rugositat absoluta dels tubs 1, 2 i 3 és 0.2·10-6 m, la de la resta de tubs és 0.15·10-6 m. Prendre com viscositat cinemàtica de l’aigua: 1.31·10-6 m2/s.

1. Problema de disseny. Determinar el diàmetre de les canonades a fi que la xarxa proporcioni els cabals nodals requerits i treballi el més proper possible a les alçàries piezomètriques nodals desitjades. Suposar que la gama de diàmetres comercials és discreta, de mm en mm.

2. Problema de punt de funcionament. Amb els diàmetres trobats al punt 1 determinar el cabal que circula per cada tub.

3. Problema d’anàlisi de diferents escenaris. Quin seria el punt de funcionament de la xarxa si:

        a) Es redueix la velocitat de la bomba (α=0.8).

        b) S’atura la bomba. Suposar no ofereix cap resistència al flux.  

        c) S’alimenta la xarxa només des del dipòsit A amb la bomba engegada.

        d) S’alimenta la xarxa només des del dipòsit A però sense bomba.

        e) S’alimenta la xarxa només des del dipòsit B.

[pic 1]

Figura P3. Esquema de xarxa de distribució a partir dels dipòsits A i B. S’hi indica la numeració dels nodes, dels tubs (números encerclats) i les direccions positives dels cabals. Longituds dels tubs (m) en negre i cabals nodals (L/s) en vermell.

Per resoldre els apartats 1 i 2, en primer lloc es fa un recompte de les incògnites del problema.  S'observa que a l'apartat 1 demana els diàmetres de cada tub de la instal·lació, que són 9 incògnites,  i en l'apartat 2 demana els cabals, per tant són 9 incògnites més, . El subíndex i correspon amb el número de cada tub, és a dir, el tub 1 té diàmetre  i circula un cabal . Per altra banda i correspon al cabal nodal en el node i.[pic 2][pic 3][pic 4][pic 5][pic 6]

Equacions que governen el sistema.

Equacions de continuïtat en cada node:

Node 1:                                            (1)[pic 7]

Node 2:                                                    (2)[pic 8]

Node 3:                                    (3)[pic 9]

Node 4:                                                            (4)[pic 10]

Node 5:                                                            (5)[pic 11]

Node 6:                                                            (6)[pic 12]

Per poder resoldre el sistema, cal obtenir més equacions. Plantegem l'equació de l'energia per a cadascun dels tubs.

Tub 1:                                      (7)[pic 13]

Els termes d’energia cinètica    tant del tub 1 com del tub 7 els menysprearem per la resolució del sistema, ja que son valors petits i ens estalviem 2 incògnites.[pic 14]

El terme   es pot expressar:         sent          (de l’eq. Darcy-Weisbach)[pic 15][pic 16][pic 17]

El terme Hb es pot expressar:                 .          (Corba característica)[pic 18]

Per tant l’equació (7) es pot expressar com (7’):

Tub 1:                                   (7’)[pic 19]

Tub 2:                                                           (8) [pic 20]

Seguint el mateix criteri que per l’expressió del tub 1 obtenim l’equació (8’) del tub 2:

Tub 2:                                                            (8’)[pic 21]

I la resta de tubs:

        Tub 3:                                                                 (9)[pic 22]

        Tub 4:                                                                  (10)[pic 23]

Tub 5:                                                        (11)[pic 24]

...