ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADAS

1. ECUACIONES DE VARIABLES SEPARADAS

Una ecuación diferencial de variables separadas es una ecuación de primer orden  en la que la función  puede expresarse en la forma  o bien  (siendo ).[pic 1][pic 2][pic 3][pic 4][pic 5]

De manera equivalente, es toda ecuación diferencial de primer orden que en forma diferencial se expresa como:

[pic 6]

Resolución 1: La solución de la ecuación  está dada por: . Donde  es una primitiva de , es una primitiva de  y  es una constante.[pic 7][pic 8][pic 9][pic 10][pic 11][pic 12][pic 13]

Multiplicando por  la ecuación   se obtiene[pic 14][pic 15]

[pic 16]

y si  es una primitiva de , el primer miembro es justamente , por lo que, si  es, a su vez, una primitiva de , la integral o solución general de la ecuación , expresada en forma explícita, es justamente . Si es posible despejar de ahí la función , se tendrá la solución en forma explícita como[pic 17][pic 18][pic 19][pic 20][pic 21][pic 22][pic 23][pic 24]

y = φ(x, C)

La manera práctica de proceder consiste en “separar las variables”, escribiendo la ecuación  en su forma diferencial  de la que, integrando ambos miembros, se obtiene la solución  en la forma [pic 25][pic 26][pic 27]

[pic 28]

Si se han especificado las condiciones iniciales, y(x0) = y0 es posible obtener la solución particular que las satisface del siguiente modo:

 y [pic 29]

eliminando C del sistema formado por esta última ecuación y, se obtiene:[pic 30]

[pic 31]

o, lo que es lo mismo, [pic 32]

1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN

1. Generalidades

La ecuación diferencial ordinaria de primer orden tiene la forma: [pic 33]

Si esta ecuación se resuelve respecto a y, se puede escribir en la forma: . En este caso se dice que la ED está solucionada respecto de la derivada. [pic 34]

Observación. Una ecuación de la forma:

[pic 35]

puede transformarse en una ecuación en variables separadas al dividir por el factor [pic 36][pic 37]

y al integrar obtenemos la solución[pic 38]

Tenga presente que al dividir por el factor [pic 39] puede perder soluciones que anulan este factor, las cuales pueden ser soluciones singulares.

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