Ecuaciones Diferenciales De Variables Separables Y Reducibles

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE VARIABLES SEPARABLES Y REDUCIBLES.

El método de separación de variables es una de las varias técnicas utilizadas para resolver las ecuaciones diferenciales.

Sólo es posible aplicar la técnica de separación de variables a aquellas funciones que han sido transformadas, de manera tal, que el diferencial de la variable particular sólo aparece con una función definiendo esta variable y no con otra función.

Además esa función debe tener sólo esa variable en particular y no otra variable. La forma reducida de tal función es,

Esta técnica de solución de ecuaciones diferenciales tiene su base en la suposición de que para una función definida como:

Habrá una respuesta para algunas ecuaciones diferenciales parciales homogéneas definidas de forma lineal. Esta ecuación diferencial será definida para las variables x y t. Hacer esta suposición reducirá las ecuaciones diferenciales en funciones definidas separadamente que son sumadas juntas, ya que sabemos que todas las funciones indefinidas en cada ecuación diferencial dada es constante si tenemos el producto de estas funciones con las variables independientes como términos constantes.

Estas funciones definidas separadamente, pueden ser finalmente, integradas por separado utilizando las técnicas adecuadas de integración y se suman juntas para obtener el resultado final.

Por ejemplo, para la ecuación diferencial u/ t = c ( 2u/ x2) dada u(x, 0) = f(x), u(0, t) = 0 y u(L, t) = 0, podemos aplicar la técnica de separación de variables.

De acuerdo con la técnica de separación de variables, el resultado de resolver la ecuación será un producto de las funciones en la ecuación dada como,

Para resolver la ecuación diferencial dada coloca esto en la ecuación dada para calcular la resultante,

[ ( (x) G(t))]/ t = c [ 2( (x) G(t))]/ x2

(x) dG/ dt = c G(t) d2 / dx2

En la relación anterior, G(t) puede ser factorizada fuera de las diferenciales espaciales y (x) puede ser factorizada fuera de la variable tiempo. Esto dejará la relación sin ningún tipo de diferenciales parciales. Sin embargo, esto convertiría la ecuación en mucho más críptica, entonces mejor reorganiza la ecuación dada para mover las variables de un lado a otro como,

(1/ G) dG/ dt = c (1/ ) d2 / dx2 (1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2

Después de terminar este proceso, finalmente necesitamos hacer las dos ecuaciones iguales con el fin de aplicar la técnica de separación variable. Esto se hace mediante igualar la ecuación completa en una constante separación como,

(1/ c.G) dG/ dt = (1/ ) d2 / dx2 = -

Esta relación puede ser dividida en dos ecuaciones ordinarias como,

dG/ dt = -c G y, d2 / dx2 = -

Ahora cambiemos nuestro enfoque a las condiciones iniciales establecidas.

La primera establece que, u(0,

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