Ecuaciones De Maxwell

Introducción

En este Capítulo haremos una introducción general a los problemas que se desarrollarán a lo largo

del texto. Muchas descripciones serán necesariamente cualitativas ya que los detalles y aplicaciones

a la ingeniería serán material de Capítulos posteriores.

El electromagnetismo ha sido la base de la llamada Segunda Revolución Industrial, fundamentalmente

en los aspectos de la conversión electromecánica de energía y las comunicaciones. Actualmente

las aplicaciones electromagnéticas dominan toda la técnica moderna y la miniaturización

y creciente velocidad de los circuitos electrónicos hacen cada vez más necesaria la modelación

de estos fenómenos mediante la teoría de campos.

El electromagnetismo es una teoría de campos, es decir, las explicaciones y predicciones que

provee se basan en magnitudes físicas cuya descripción matemática son campos vectoriales dependientes

de la posición en el espacio y del tiempo. La característica vectorial dificulta notablemente

las resolución de las ecuaciones que describen el comportamiento, por lo que se trata

en la medida de lo posible de simplificar el problema a ecuaciones escalares, y si no es posible,

se utilizan sofisticados métodos numéricos que han explotado en número y variedad en los últimos

años. Este texto presentará formulaciones analíticas en casos simples que brindan un trasfondo

conceptual y modelos simplificados cuando sea posible, y finalmente daremos una breve

introducción a los métodos numéricos de mayor uso en bajas y altas frecuencias.

El objetivo es que el lector adquiera la comprensión conceptual de los problemas que deberá

enfrentar en aplicaciones de la ingeniería electromagnética así como las herramientas de modelación

más adecuadas para las variadas situaciones. Por otra parte, se dará énfasis a las aplicaciones

a la ingeniería y, cuando sea el caso, a las normas de diseño y seguridad vigentes en la explotación

de sistemas y equipos electromagnéticos.

Una vez analizados los modelos y problemas generales, cada Capítulo siguiente analizará en

detalle teoría, modelos y aplicaciones en cada caso particular, desde los casos más sencillos hasta

los más elaborados. Esta organización permite profundizar en los temas de mayor interés y pasar

por alto temas y aplicaciones que no son prioritarios, y al lector, una vez que ha dominado las

ideas fundamentales, estudiar en detalle las aplicaciones de su interés.

Así, una primera parte se ocupa de los campos estáticos y/o de baja frecuencia, que pueden modelarse

mediante circuitos de constantes concentradas, una segunda parte presenta teoría y aplicaciones

de los sistemas descriptos por circuitos de parámetros distribuidos (líneas de transmisión)

y una tercera parte presenta los sistemas donde es necesaria la teoría de campos, como la

propagación libre y guiada y la generación de ondas electromagnéticas. Finalmente se destina un

último Capítulo a problemas de compatibilidad electromagnética y a analizar los posibles riesgos

de los campos electromagnéticos sobre la salud humana.

1 - Ecuaciones de Maxwell

Electromagnetismo - 2004 1-2

Juan C. Fernández - Departamento de Física – Facultad de Ingeniería

Universidad de Buenos Aires – www.fi.uba.ar

Ecuaciones de Maxwell

Todos los fenómenos electromagnéticos clásicos (no cuánticos) se pueden describir a partir de

las ecuaciones de Maxwell1:

donde generalmente las incógnitas son los campos vectoriales:

o E: campo eléctrico (V/m),

o D: campo de desplazamiento (C/m2),

o H: campo magnético(A/m) y

o B: campo de inducción magnética (T).

Estos campos conforman el campo electromagnético. Las dos ecuaciones del rotor (Faraday y

Maxwell-Ampère) aseguran que hay una dependencia mutua entre campos eléctricos y magnéticos

variables en el tiempo, de manera que en este caso ambos campos están interrelacionados.

Sólo en el caso de campos estáticos (que no varían en el tiempo) campo eléctrico y magnético

son independientes entre sí.

Llamamos fuentes de campo a los sistemas físicos que crean campos en el espacio. En el caso

electromagnético, cargas y corrientes eléctricas crean campo2. En las ecuaciones de Maxwell

las fuentes de campo son entonces:

o ρ: la densidad de carga eléctrica (C/m3) y

o j: la densidad de corriente (A/m2).

En nuestra descripción consideramos a cargas y corrientes como funciones continuas de la posición.

Sin embargo, se conoce que la carga eléctrica se presenta en unidades elementales (a las

energías de interés en las aplicaciones tecnológicas actuales) cuyo valor es la carga del electrón:

e ≈1.602 ×10−19C

Esta estructura granular de la carga eléctrica no admitiría la descripción de su distribución como

una función continua de la posición, pero la extrema pequeñez de los portadores elementales de

carga, en relación al tamaño de los objetos de interés tecnológico, permite usar funciones continuas

entendidas como un promedio sobre un gran número de entes discretos, en volúmenes pequeños

frente al tamaño de esos objetos, pero grandes en relación al tamaño de los portadores de

carga elementales. Podemos escribir entonces:

ρ (r, t)= N(r, t)e donde N(r,t) es el número de portadores elementales

de carga por unidad de volumen.

El mismo razonamiento se aplica a las funciones continuas que describen la distribución de corrientes,

que son en última instancia grupos de cargas elementales en movimiento.

Todas las cantidades que intervienen en las ecuaciones de Maxwell se describen, entonces y en

general, como funciones de la posición espacial y del tiempo.

1 En el Apéndice 1 se presenta un resumen de los operadores vectoriales usados en las ecuaciones de Maxwell.

2 Hay otras fuentes de campo electromagnético que no se describen en las ecuaciones de Maxwell ya que dependen

de fenómenos no electromagnéticos "puros", como baterías, pilas solares, etc.

∇ •D(r,t) = ρ(r,t) (ley de Gauss eléctrica)

∇•B(r,t) = 0 (ley de Gauss magnética)

( , ) ( , ) = 0

∂

∂

∇× + t

t

E r t B r (ley de Faraday)

( , ) ( ,t) ( ,t)

t

H r t D r = j r

∂

∂

∇× − (ley de Maxwell-Ampère)

Electromagnetismo

...