Ecuaciones De Maxwell

Ecuaciones de MAXWELL y oscilaciones en cavidades

Existen muchas situaciones en las que intervienen campos magnéticos que podemos usar como una demostración de las ecuaciones de Maxwell. Dejamos hasta el capitulo 41 cualquier consideración de la pruebas que implican ondas magnéticas. Aquí veremos una cavidad resonante, la cual podemos considerar que es un oscilador electromagnético con elementos distribuidos.

A modo de analogía consideramos la cavidad resonante acústica de la figura 3. (Un tubo de órgano cerrado en ambos extremos, es un ejemplo de tal resonador acústico.) En un oscilador simple, como un bloque unido a un resorte o un circuito LC, podemos "concentrar" la energía almacenada en elementos por separado: la energía cinética del bloque y la energía potencial del resorte, o la energía magnética almacenada en el inductor y la energía eléctrica almacenada en el capacitor. En el resonador acústico no es posible esta división. Cada diminuto elemento de gas dentro del tuvo tiene tanto energía potencial como energía cinética; se dice que tal sistema tiene elementos distribuidos. La cavidad resonante electromagnética tiene igualmente elementos distribuidos.

Una característica de un sistema distribuido es que tiene un gran numero de modos resonantes (en contraste, el sistema concentrado tiene pocos a menudo apenas uno.) La figura tres muestra el modo fundamental de la cavidad acústica. Ilustra una serie de "instantáneas" de variaciones de la presión y la velocidad a través de un ciclo. Nótese que la presión y la velocidad varían con el tiempo y con la ubicación a lo largo del tuvo. En cada extremo de un tuvo cerrado existe un antinodo de presión. Donde la variación de la presión es máxima, la velocidad es cero (Fig. 3a y 3e), en analogía con el sistema bloque-resortea su máximo desplazamiento. Cuando la presión es uniforme las velocidades tienen sus valores máximos (Fig. 3c y 3g).

Como lo muestran la gráficas de barras que acompañan a cada "instantánea" de la figura 3, la energía del resonador oscila entre la energía sintética del gas en movimiento y la energía potencial asociada con la compresión y el enrarecimiento del gas.

La energía puede ser totalmente potencial(Fig. 3a y 3e), totalmente cinética (Fig. 3e y 3g), o una combinación de ambas.

Por analogía con la cavidad acústica, podemos considerar una cavidad resonante electromagnética cilíndrica. En lugar de la presión y la velocidad, describimos el estado del resonador mediante sus campos eléctrico y magnético. Para iniciar las oscilaciones del campo, conectamos una fuente de fem que varia senoidalmente. Esto da lugar a un campo eléctrico variable en la cavidad. Como era el caso de la figura 2, el campo eléctrico variable provoca un campo magnético, y así dentro de la cavidad existen campos magnéticos y eléctricos que varían con la posición y con el tiempo.

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Al igual que el resonador acústico, el resonador electromagnético almacena su energía en dos formas; en este caso las energías están asociadas con el campo magnético y el campo eléctrico. Cada elemento de volumen de la cavidad contribuye a ambas clases de energía, y así la cavidad electromagnética tiene elementos distribuidos.

La figura 4 muestra de manera semejante a la figura 3, una serie de "instantáneas" de la cavidad que ilustran los campos eléctrico y magnético en un instante de la oscilación del modo fundamental. Nótese la oscilación de la energía entre las dos

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formas, correspondientes a las densidades de la energía eléctrica y magnética, Al integrar para el volumen de la cavidad, hallamos la energía total en cada una de las dos formas.

La figura 5 muestra una representación mas detallada de los campos eléctrico y magnético en n instante de la oscilación en particular, correspondiendo a la figura 4d. Note en la figura 4d que el campo magnético esta disminuyendo, y que el campo eléctrico esta creciendo. Apliquemos la ley de Faraday,

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al rectángulo de trazos de dimensiones h y a -r. Existe un campo magnético definido _B en esta área rectangular, y este flujo esta disminuyendo con el tiempo porque B esta disminuyendo.

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En una cavidad hecha de un material conductor, podemos hacer que E sea cero en la pierna superior de la trayectoria de integración, la cual se encuentra dentro de las paredes de la cavidad. También, E y ds están en ángulo recto en las dos piernas laterales, de modo que E · ds = 0 en esta parte de la trayectoria rectangular. La única contribución a la integral de línea de E alrededor del perímetro del rectángulo se deduce del segmento inferior, y así

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donde E(r) es el valor de E en un radio de r desde el eje de la cavidad. Al incorporar este resultado de la integral de línea en la ley de Faraday , obtenemos

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La ecuación 8 muestra que E(r) depende de la velocidad a la que el _B que atraviesa la trayectoria mostrada esta cambiando con el tiempo y que tiene su magnitud máxima cuando d _B /dt es máxima. Esto ocurre cuando B es cero, esto es, cuando B esta cambiando su dirección; recordemos que un seno o un coseno cambia mas rápidamente (tiene la pendiente mas pronunciada) en el instante en que cruza el eje entre los valores positivo y negativo. El patrón del campo eléctrico en la cavidad tiene su valor máximo cuando el campo magnético es cero en todas partes, consistente con las figuras 4a y 4e y con el concepto de intercambio de la energía entre los campos magnético y eléctrico. Al aplicar la ley de Lenz puede demostrarse que el campo eléctrico en la figura 5 apunta

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