Ecuaciones De Maxwell

INTRODUCCIÓN:

A partir de los conocimientos experimentales y de las leyes que se habían deducido relativas a la electricidad y al magnetismo, el físico escocés James Clerk Maxwell las resumió en forma matemática, hacia el año 1860, en cuatro ecuaciones que constituyen las conocidas Ecuaciones de Maxwell.

Maxwell fue un físico conocido principalmente por haber desarrollado la teoría electromagnética clásica, sintetizando todas las anteriores observaciones, experimentos y leyes sobre electricidad, magnetismo y aun sobre óptica, en una teoría consistente.

Las ecuaciones de Maxwell demostraron que la electricidad, el magnetismo y hasta la luz, son manifestaciones del mismo fenómeno: El campo electromagnético. Desde ese momento, todas las otras leyes y ecuaciones clásicas de estas disciplinas se convirtieron en casos simplificados de las ecuaciones de Maxwell.

Su trabajo sobre electromagnetismo ha sido llamado “La segunda gran unificación en física”, después de la primera llevada a cabo por Isaac Newton. Además se le conoce por la estadística de Maxwell-Boltzmann en la teoría cinética de gases.

En este trabajo se presentarán dos conceptos nuevos: El campo eléctrico que produce un campo magnético cambiante y el campo magnético que genera un campo eléctrico cambiante. El primero de estos conceptos es el resultado del trabajo experimental de Michael Faraday, y el segundo, de los esfuerzos teóricos de Maxwell.

En realidad, Maxwell se inspiró en el trabajo experimental de Faraday y en la imagen mental de las “líneas de fuerza” que éste introdujo en el desarrollo de su teoría eléctrica y magnética. Era 40 años más joven que Faraday, pero se trataron durante los cinco años que Maxwell permaneció en Londres como un joven profesor, pocos años después de que Faraday se retirara. Maxwell desarrolló su teoría después de desempeñar su puesto de profesor y mientras trabajaba solo en su casa en Escocia.

Las cuatro ecuaciones fundamentales de la teoría electromagnética presentadas a continuación llevan su nombre.

LAS ECUACIONES DE MAXWELL:

La primera ecuación es la Ley de Gauss que establece que el flujo eléctrico a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada en ella dividida por la constante ϵ_0.

∮_S E∘dA=Q/ϵ_0

La segunda ecuación es la Ley de Gauss del magnetismo que establece que el flujo magnético a través de cualquier superficie cerrada es igual a cero.

∮_S B∘dA=0

La tercera ecuación es la Ley de Faraday que establece que la f.e.m. inducida (que es la integral de línea del campo eléctrico a lo largo de cualquier curva cerrada C) es igual a la variación en el tiempo con signo negativo del flujo magnético que atraviesa cualquier superficie limitada por la curva cerrada C.

∮_C E∘dl=-(dϕ_m)/dt

La cuarta ecuación es la Ley de Ampére generalizada que establece que la integral de línea de campo magnético a lo largo de cualquier curva cerrada C es igual a μ_0 por la corriente que atraviesa cualquier superficie limitada por la curva cerrada C, más μ_0 ϵ_0 por la variación en el tiempo del flujo eléctrico que atraviesa esa misma superficie.

∮_C B∘dl=μ_0 I+μ_0 ϵ_0 (dϕ_e)/dt

De esta forma las ecuaciones de Maxwell permiten relacionar el campo eléctrico E y el campo magnético B con sus fuentes que son las cargas eléctricas, las corrientes y los campos variables.

Estas cuatro ecuaciones se complementan con la Ley de Lorentz y establece que la fuerza que actúa sobre una carga q en presencia de campos eléctricos y magnéticos viene dada por la expresión:

F=qE+qv ×B

Las ecuaciones de Maxwell son la base del electromagnetismo, lo mismo que las leyes de Newton lo son de la mecánica clásica. Estas cuatro ecuaciones junto con la Ley de Lorentz permiten describir todos los fenómenos electromagnéticos.

ECUACIONES DE MAXWELL EN FORMA PUNTUAL:

Se han obtenido dos de las ecuaciones de Maxwell para campos variantes con el tiempo:

∇×E=-∂B/∂t

Y

∇×H=J+∂D/∂t

Las dos ecuaciones restantes permanecen sin cambios con respecto a la forma que tienen cuando no existe dependencia temporal:

∇∙D=ρ_v

∇∙B=0

La ecuación ∇∙D=ρ_v esencialmente estable que la densidad de carga es una fuente (o sumidero) de las líneas de flujo eléctrico. Obsérvese que no se puede seguir diciendo que todo flujo eléctrico comienza y termina en una carga porque la parte importante de la Ley de Faraday (∇×E=-∂B/∂t) muestra que E, y también D, pueden tener circulación si está presente un campo magnético variable. Por ello las líneas de flujo eléctrico pueden formar trayectorias cerradas. Sin embargo, sigue siendo cierto que cada coulomb de carga debe tener un coulomb de flujo eléctrico saliendo de él.

Con la ecuación ∇∙B=0 se reconoce el hecho de que se desconoce la existencia de “cargas magnéticas” o polos. El flujo magnético siempre se encuentra en circuitos cerrados y nunca diverge de una fuente puntual.

Estas cuatro ecuaciones son la base de toda la teoría electromagnética. Son ecuaciones diferenciales parciales que relacionan el campo eléctrico y el magnético entre sí y con sus fuentes, cargas y densidades de corriente. Las ecuaciones auxiliares que relacionan D y E.

D=ϵE

B con H

B=μH

Que define la densidad de corriente de conducción,

J=σE

Y que define la densidad de corriente de convección en términos de la densidad de carga volumétrica ρ_v,

J=ρ_v v

También son necesarias para definir y relacionar las cantidades que aparecen en las ecuaciones de Maxwell.

Los potenciales V y A no se incluyen en estas ecuaciones porque no son estrictamente necesarios, a pesar de lo mucho que se utiliza.

Si

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