Ecuacion De Maxwell

ECUACIONES DE MAXWELL

Introducción

James Clerk Maxwell formulo cuatro ecuaciones que relacionan los campos eléctricos y los campos magneticos con distribuciones de carga y densidades de corriente. Estas ecuaciones son la base de la teoría clásica electromagnética y se pueden representar en forma integral y diferencial.

A continuación se dan las ecuaciones de Maxwell en las dos formas.

Ecuaciones de Maxwell en forma integral

Ley de Gauss

ε_0 ∮_s▒〖E ⃗∙dS ⃗ 〗=∫_v▒〖ρ∙dv〗

Ley de Gauss para el magnetismo

∮_s▒〖B ⃗∙dS ⃗=0〗

Ley de Ampere

∮_l▒〖H ⃗∙dl ⃗ 〗=∫_s▒〖J ⃗∙dS ⃗ 〗+ε_0 d/dt ∫_s▒〖E ⃗∙dS ⃗ 〗

Ley de Faraday

∮_l▒〖E ⃗∙dl ⃗ 〗=-N d/dt ∫_s▒〖B ⃗∙dS ⃗ 〗

Ecuaciones de maxwell en forma diferencial

Ley de Gauss

(∂E_x)/∂x+(∂E_y)/∂y+(∂E_z)/∂z=ρ/ε_0

Ley de Gauss para el magnetismo

(∂B_x)/∂x+(∂B_y)/∂y+(∂B_z)/∂z=0

Ley de Ampere

∇×H ⃗=J ⃗+ε_0 (∂E ⃗)/∂t

Ley de Faraday

∇×E ⃗=-N (∂B ⃗)/∂t

Ecuación de la onda electromagnética

La ecuación de onda electromagnética se puede deducir y obtener sus propiedades aplicando las ecuaciones de Maxwell.

Supongamos que se tiene un campo eléctrico E ⃗ en la dirección Y y un campo magnético B ⃗ en la dirección Z en el vacio como se muestra en la figura.

Fig.1 Campo Eléctrico y Campo magnético vibrando perpendicularmente entre si

Aplicando las ecuaciones de Maxwell en forma diferencial para el vacio se obtiene las siguientes relaciones.

∂E/∂x=-∂B/∂t (1)

∂B/∂x=-μ_0 ε_0 ∂E/∂t (2)

Con las ecuaciones (1) y (2) se obtiene la ecuación diferencial de una onda para el campo eléctrico y para el campo magnético,

(∂^2 E)/(∂x^2 )=μ_0 ε_0 (∂^2 E)/(∂t^2 )

(∂^2 B)/(∂x^2 )=μ_0 ε_0 (∂^2 B)/(∂t^2 )

La velocidad de estas ondas viene dada por

C=√(1/(μ_0 ε_0 ))

Colocando los valores correspondientes en las constantes se obtiene

C=〖3×〖10〗^8〗_(m/seg)

Que es precisamente la velocidad de la Luz en el vacío.

La solución de las ecuaciones diferenciales anteriores para el campo eléctrico y para el campo magnético de una onda plana es

E=E_m sin⁡(kx-ωt) (3)

B=B_m sin⁡(kx-ωt) (4)

Donde E_m y B_m son los valores máximos de los campos. La constante K, llamada constante de propagación de la onda viene dada por

K=2π/λ

Siendo λ la longitud de onda, y ω la frecuencia angular que viene dada por

ω=2πf

Donde f es la frecuencia

La relación ω/K es

ω/K=λf=C

Aplicando la ecuación (1) en las ecuaciones (3) y (4), se obtiene

E_m/B_m =C (5)

En la Fig. Se muestra la representación grafica de una onda electromagnética plana que se propaga en la dirección x positiva

Fig.2 representación de una onda electromagnética que se propaga en la dirección x

Energía de la onda electromagnética

Las ondas electromagnéticas transportan energía, y a medida que se propagan a través del espacio pueden transferir a los cuerpos que encuentra a su paso.

El flujo de energía de una onda electromagnética o lo que es lo mismo, la rapidez con que fluye la energía por unidad de superficie de un área perpendicular al flujo se describe por un vector S ⃗, denominado vector de Poyting y definido por la expresión

S ⃗=1/μ_0 E ⃗×B ⃗

Las unidades del flujo de energía son (joules/seg)∙m^2=Watt/m^2

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