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Introducción

Las ecuaciones diferenciales son una parte muy importante del análisis matemático y modelan innumerables procesos de la vida real. Una ecuación diferencial es una relación, válida en cierto intervalo, entre una variable y sus derivadas sucesivas. Su resolución permite estudiar las características de los sistemas que modelan y una misma ecuación puede describir procesos correspondientes a diversas disciplinas.

Las ecuaciones diferenciales tienen numerosas aplicaciones a la ciencia y a la ingeniería, de modo que los esfuerzos de los científicos se dirigieron en un principio, a la búsqueda de métodos de resolución y de expresión de las soluciones en forma adecuada. De este} modo, los primeros métodos de resolución fueron los algebraicos y los numéricos. Los Primeros permiten expresar la solución en forma exacta, como y = f (x), una función de la variable independiente, y los segundos tienen como objetivo calcular valores que toma la solución en una serie de puntos. Al conjunto de estos valores se lo denomina solución numérica. La estimación de los valores en puntos intermedios puede obtenerse por interpolación.

La necesidad de recurrir a métodos alternativos a los algebraicos obedece a que, con la excepción de unos cuantos casos más o menos sencillos, la gran mayoría de las ecuaciones diferenciales no puede ser resuelta satisfactoriamente en forma exacta. Por otra parte, la implementación de técnicas numéricas eficientes requiere previamente el estudio cualitativo de las soluciones. Asimismo, los métodos numéricos, si bien son eficaces para aportar una solución aproximada de algún problema específico, no resultan adecuados para la discusión global del conjunto de todas las soluciones. Basada especialmente en las ideas de Poincaré y Lyapunov se desarrolló la llamada teoría cualitativa, que consiste en estudiar las propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial sin resolverla. Este método permite obtener gran cantidad de información acerca de las soluciones, aún sin conocerlas. Sin embargo, las ecuaciones diferenciales constituyen una mínima parte de los programas de cálculo en carreras de ingeniería.

• Objetivos

1 era ETAPA. Formar al estudiante en el cálculo, diferencia e integral de funciones de una variable. Dotarlos de los elementos computacionales que permitan resolver los problemas. Entender los conceptos analíticos – prácticos de su Relacionar con el Análisis Matemático II a través del concepto de teoría y la práctica. Para Aplicar e análisis matemático II problemas, Usando límites y derivadas.

2da ETAPA. Visualizar situaciones problema, bajo modelos los análisis matemáticos, usando tasa de variación (derivada) para Razonar con el uso de las derivadas y ecuaciones diferenciales. Comprender el fundamento de un modelo matemático para derivadas, ecuaciones diferenciales e integrales. Plantear con nuevas variables modelos matemáticos, físicos y/o reales, usando tasa de variación, derivadas, ecuaciones diferenciales e integrales.

3era ETAPA. Comprender el problema de la integral como el inverso de la derivada y aplicarlas bajo distintos métodos de integración a la resolución de problemas de áreas., Conocer el concepto de una ecuación diferencial de primer orden y aplicarla a problemas bajo la relación funcional los conceptos de límites, continuidad, derivada, ecuaciones diferenciales e integración para variables en el plano.

Desarrollo

Actividades sugeridas

1) ¿Cuáles conjuntos numéricos abarca el Análisis Matemático?

El análisis es una rama de la ciencia matemática que estudia los números reales, los complejos y construcciones derivadas a partir de ellos así como las funciones entre esos conjuntos y construcciones derivadas. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.

2) ¿Cómo fue aproximado el número pi?

El número se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Se puede calcular una aproximación de forma experimental3.14159265359

3) ¿Cuándo se origina el análisis en Europa?

El análisis en Europa se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. Ahora sabemos que Newton desarrolló el cálculo infinitesimal unos diez años antes que Leibnitz. Este último lo hizo en 1675 y publicó su obra en 1684, aproximadamente veinte años antes de que Newton se decidiera a hacer lo propio con sus trabajos. Newton había comunicado la novedad solamente a algunos pocos colegas suyos y de nada valieron las instigaciones de Halley para que Newton publicara sus trabajos más tempranamente. Esta actitud sirvió de base para crear una desagradable controversia por el padrinazgo de la idea; discusión que podría haber sido evitada si otro gran matemático, Fermat, no hubiera tenido también la inexplicable costumbre de no hacer públicos sus trabajos. En una carta de Fermat a Roberval, fechada el 22 de octubre de 1636, se hallan claramente descritos tanto la geometría analítica1 como el análisis matemático.2En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos temas sobre el análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y lasfunciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante la continua aproximación de una función “onda cuadrada” discontinua mediante una serie de funciones trigonométricas continua y diferenciable.

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.

Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición ε-δ de límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse

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