Elipsoide de manipulabilidad, Robótica móvil

Ingeniería Electrónica

Electiva I: Robótica Industrial

Tarea Investigativa

1.- Elipsoide de manipulabilidad

Basado en el trabajo del profesor Yoshikawa. Considérese un manipulador con n grados de libertad, entonces las variables de junta estarán caracterizadas por un vector n-dimensional, q. Un vector m-dimensional, describirá la posición y la orientación del efector final. La relación cinemática entre q y r está dada por

Entre tanto, la relación entre el vector de velocidades v correspondiente a r y las velocidades de junta q es

Donde J (q) es la matriz Jacobiana.

Ahora considérese el conjunto de todas las velocidades v que son realizables por velocidades de junta tal que la norma Euclidiana de q, satisfaga . Este conjunto es un elipsoide en el espacio Euclidiano m-dimensional. El efector final tiene mayor capacidad de movimiento en la dirección del eje mayor del elipsoide, por otra parte, en la dirección del eje menor la capacidad de desarrollar velocidad será menor.

Dado que este elipsoide representa una capacidad de manipulación, se le conoce como elipsoide de manipulabilidad.

El elipsoide de manipulabilidad está dado por el conjunto de todos los v que satisfagan

Donde es la matriz seudo inversa de J y donde R (J) denota el rango de J.

En vez de calcular los valores de v que satisfacen la expresión (3), es posible caracterizar el elipsoide de manipulabilidad valiéndose de sus ejes principales, para esto se requiere de una descomposición en valores singulares de la matriz J que está dada por

Donde U y V son, respectivamente, matrices ortogonales de tamaño m x m y n x n y donde Σ es una matriz m x n definida por

Los escalares son los valores singulares de J, y son iguales a los m mayores valores de las n raíces donde los son los autovalores de la matriz JT J. Siendo el i-ésimo vector columna de U, los ejes del elipsoide de manipulabilidad estarán dados por .

2.- Robótica móvil

Un robot móvil es una máquina automática capaz de trasladarse en cualquier ambiente dado.

Los robots móviles tienen la capacidad de moverse en su entorno y no se fijan a una ubicación física. En contraste, existen robots industriales fijos, que consisten en un brazo articulado (manipulador de multi-ligado) y una pinza de montaje (o efector de extremo) que está unida a una superficie fija.

Los robots móviles son un foco importante de la investigación actual y casi cada universidad importante que tenga uno o más laboratorios que se centran en la investigación de robots móviles. Los robots móviles se encuentran también en la industria y los servicios. Los robots domésticos son productos de consumo, incluyendo robots de entretenimiento y las que realizan ciertas tareas del hogar, como pasar la aspiradora o la jardinería

2.2.- Configuración diferencial

La configuración diferencial se presenta como la más sencilla de todas. Consta de dos ruedas situadas diametralmente opuestas en un eje perpendicular a la dirección del robot. Cada una de ellas irá dotada de un motor, de forma que los giros se realizan dándoles diferentes velocidades. Así, si queremos girar a la derecha, daremos mayor velocidad al motor izquierdo.

Para girar a la izquierda, será el motor derecho el que posea mayor velocidad. Con dos ruedas es imposible mantener la horizontalidad del robot. Se producen cabeceos al cambiar la dirección. Para solventar este problema, se colocan ruedas “locas”. Estas ruedas no llevan asociadas ningún motor, giran libremente según la velocidad del robot. Además, pueden orientarse según la dirección del movimiento, de forma análoga a como lo hacen las ruedas traseras de los carritos del supermercado. Dependiendo de las necesidades, se pueden colocar una, dos o más ruedas “locas”.

Sin embargo, la presencia de más de tres apoyos en el robot (incluidas las dos ruedas de tracción), puede llevar a graves cálculos de odometría en terrenos irregulares, e incluso a pérdida de tracción total. En la figura se aprecia cómo la rueda de tracción pierde agarre, haciendo imposible el avance del robot:

Podemos resumir la configuración como: dos ruedas con tracción independiente, y una o más ruedas locas.

Para llevar a cabo una navegación por odometría, es necesario acoplar a los motores de las ruedas laterales sendos encoders, de forma que contando los pulsos que avanza cada rueda y teniendo en cuenta el radio de la misma y la reducción del motor, no hay más que aplicar las ecuaciones cinemáticas del robot para hallar la posición exacta en la que se encuentra y el ángulo de desviación respecto a una dirección de referencia.

2.3.- Configuración Ackerman

Se usa casi exclusivamente en la industria del automóvil. Es la configuración que llevan los coches: dos ruedas con tracción traseras, y dos ruedas de dirección delanteras. Esta configuración está diseñada para que la rueda delantera interior en un giro tenga un ángulo ligeramente más agudo que la exterior, y evitar así el derrape de las ruedas.

Como se puede apreciar en la figura, las normales a ambas ruedas se cortan en un punto, que se encuentra sobre la prolongación del eje de las ruedas traseras. Así, se puede comprobar que las trayectorias de ambas ruedas para ángulos de giro constantes son circunferencias concéntricas.

La relación entre los ángulos de las ruedas de dirección (ver figura 1.4.) viene dada por la ecuación de Ackerman:

Dónde:

θ1 = ángulo relativo de la rueda interior

θ2= ángulo relativo de la rueda exterior

l = separación longitudinal entre ruedas

d = separación lateral entre ruedas

La configuración de Ackerman da una solución bastante precisa para la odometría a la vez que constituye un buen sistema de tracción incluso con terrenos inclinados. No obstante, la construcción

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