Filtro Pasa Bajo BASS BOOST

Red de refuerzo de graves

“BASS BOOST”

(Compensación de atraso).

De lo anterior tenemos entonces:

Z_1 (s)=R_1; 〖 Z〗_2 (s)= R_2+1/Cs

Función de transferencia:

Vo(s)/Vs(s) =Z_2/(Z_1+Z_2 )=(R_2+1/Cs)/(R_1+R_2+1/Cs)=(R_2 Cs+1)/((R_1+R_2 )Cs+1)

F(s)=(R_2 Cs+1)/((R_1+R_2 )Cs+1)=P(s)/Q(s)

P(s)=(R_1+R_2 )Cs+1

Q(s)=R_2 Cs+1

POLOS:

Polos: P(s)=R_2 Cs+1=∞ cuando s→∞. (Se cancela).

Ceros: Q(s)=〖1+(R_1+R〗_2)Cs=0 cuando s→-1/(R_1+R_2 )C.

CEROS:

Ceros: P(s)=R_2 Cs+1=0 cuando s→-1/(R_2 C).

Polos: Q(s)=〖1+(R_1+R〗_2)Cs=0 cuando s→∞. (Se cancela).

Graficando los Polos en el plano S:

Como lo vimos anteriormente:

S_p: Q(s)=0 si 〖1+(R_1+R〗_2)Cs=0 ∴ S_p=-1/(R_1+R_2 )C

∴ S_p=(-1)/((10*〖10〗^3+2.2*〖10〗^3 )*0.22*〖10〗^(-6) )=-372.58

Tenemos un polo real y negativo.

S_z: P(s)=0 si 〖1+R〗_2 Cs=0 ∴ S_z=-1/(R_2 C)

∴ S_z=(-1)/((2.2*〖10〗^3 )*0.22*〖10〗^(-6) )=-2066.11

Tenemos un polo real y negativo.

Finalmente:

ω_L=|S_p |=|-372.58|=372.58

ω_H=|S_z |=|-2066.11|=2066.11

ω_C=√(ω_H 〖*ω〗_L )=√(372.58*2066.11)=877.38

Simplificando la función de transferencia:

Dado que:

A frecuencias bajas; X_C→ ∞

|F(s)|=1

A frecuencias altas; X_C→0

F(s)=R_2/(R_1+R_2 )

Entonces K=R_2/(R_1+R_2 )=2200/(2200+10000)=0.18033[adimensional].

De la función obtenemos entonces:

F(s)=(R_2 Cs+1)/((R_1+R_2 )Cs+1)=(R_2 C)/(〖(R〗_1+R_2)C)*(1/(R_2 C)+s)/(1/(〖(R〗_1+R_2)C)+s)=R_2/(〖(R〗_1+R_2))*(ω_H+s)/(ω_L+s)=K*(ω_H+s)/(ω_L+s)

De donde:

ω_L/ω_H =(1/(〖(R〗_1+R_2)C))/(1/(R_2 C))=(R_2 C)/(〖(R〗_1+R_2)C)=R_2/(〖(R〗_1+R_2))=K

∴ ω_L=K*ω_H

F(s)=K*(s+ω_H)/(s+K*ω_H )

Función 〖 F(s)〗_(|s=jω) simplificada:

F(jω)=K (jω+ω_H)/(jω+ω_H*K)=K (jω/(ω_H*K)+ω_H/(ω_H*K))/(jω/(ω_H*K)+(ω_H*K)/(ω_H*K))=(jω/ω_H +1)/(jω/(ω_H*K)+1)=(ja+1)/(ja/K+1)

donde a=ω/ω_H

De esta forma:

F(jω)=(jaK+K)/(ja+K)=[(jaK+K)/(ja+K)][(-ja+K)/(-ja+K)]=(a^2 k+jak^2-jak+k^2)/(a^2+k^2 )=((a^2 k+k^2 )+(ak^2-ak)j)/(a^2+k^2 )

Magnitud de F(jω):

|F(jω)|=√(((a^2 k+k^2 )^2+(ak^2-ak)^2)/(a^2+k^2 )^2 )=√((a^4 k^2+2a^2 k^3+k^4 〖+a〗^2 k^4-2a^2 k^3+a^2 k^2)/(a^2+k^2 )^2 )

=√((a^4 k^2+k^4+a^2 k^4+a^2 k^2)/(a^2+k^2 )^2 )=√((k^2 [a^4+k^2 〖+a〗^2 k^2+a^2 ])/(a^2+k^2 )^2 )=k√((a^4+k^2 〖+a〗^2 k^2+a^2)/(a^4 〖+2a〗^2 k^2+k^4 ))

=k√(((a^4 〖+2a〗^2 k^2+k^4 )-k^4+k^2-a^2 k^2+a^2)/(a^4 〖+2a〗^2 k^2+k^4 ))=k√(1+(-k^4+k^2-a^2 k^2+a^2)/(a^4 〖+2a〗^2 k^2+k^4 ))

=k√(1+(-k^4+k^2+a^2 (1-k^2))/(a^2+k^2 )^2 )=k√(1+(-k^4+k^2+〖(ω/ω_H )〗^2 (1-k^2))/(〖(ω/ω_H )〗^2+k^2 )^2 )

Fase de F(jω):

< F(jω)=arctan⁡[(((ak^2-ak))/(a^2+k^2 ))/(((a^2 k+k^2 ))/(a^2+k^2 ))]=〖arctan 〗⁡[((ak^2-ak))/((a^2 k+k^2 ) )] 〖arctan 〗⁡[a(k^2-k)/((a^2 k+k^2 ) )]

=〖arctan 〗⁡[(ω/ω_H (k^2-k))/(((ω/ω_H )^2 k+k^2 ) )]

De forma simplificada obtenemos:

= arctan [(ω/ω_H *k (k-1))/(k*(ω/ω_H )^2+k)]

<F(jω)= arctan [(ω/ω_H * (k-1))/((ω/ω_H )^2+k)]

TABULACION

w [rad/s] W/WH |F(jw)| [#] 20 log(|F(jw)|) [dB] Fase de F(jw) [rad] Fase de F(jw) [º]

1 0.0005 1.0000 0.0000 -0.0022 0.1260

1.25 0.0006 1.0000 0.0000 -0.0027 0.1576

1.6 0.0008 1.0000 -0.0001 -0.0035 0.2017

2 0.0010 1.0000 -0.0001 -0.0044 0.2521

2.5 0.0012 1.0000 -0.0002 -0.0055 0.3151

3.2 0.0015 1.0000 -0.0003 -0.0070 0.4033

4 0.0019 0.9999 -0.0005 -0.0088 0.5042

5 0.0024 0.9999 -0.0008 -0.0110 0.6302

6.4 0.0031 0.9999 -0.0012 -0.0141 0.8066

8 0.0039 0.9998 -0.0019 -0.0176 1.0082

10 0.0048 0.9997 -0.0030 -0.0220 1.2601

12.5 0.0061 0.9995 -0.0047 -0.0275 1.5749

16 0.0077 0.9991 -0.0077 -0.0352 2.0153

20 0.0097 0.9986 -0.0121 -0.0439 2.5180

25 0.0121 0.9978 -0.0189 -0.0549 3.1455

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