Guia Matematicas 4

Recta

7.1 Distancia entre dos puntos.

Dado los puntos A(x1, y1) y B (x2, y2)

La distancia se determina por la siguiente fórmula

Ejemplo.

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (3,-1) y N (7, 2)?

a) 5 b) - 5 c) d)

Ejercicio 1:

1. ¿Cuál es la distancia entre los puntos M (2, 3) y N (5, 7)?

a) 5 b) - 5 c) 7 d) - 7

2. ¿En cuál de las opciones se muestra la distancia entre los puntos A (-5, 1) y B (5,11)?

a) b) c) d)

3. La distancia entre los puntos P (- 3, 0) Y Q (4, - 3) es:

a) 40 b) c) 10 d)

4. La distancia entre P (- 5,1) y Q (3,7) es:

a) 100 b) 10 c) d)

5. ¿Cuál es la distancia entre el punto (5,7) y el punto (3,1)?

a) b) c) d)

7.2 Punto medio.

El punto medio de dos puntos A (x1, y1) y B (x2, y2) esta determinado por la fórmula.

Ejemplo.

Cuáles son las coordenadas del punto medio, entre los puntos P (3, -1) y Q (7, 2)

Ejercicio 2:

1. Las coordenadas del punto medio del segmento A (- 3,2) y B (5, 2) son:

a) (- ½, 0) b) (1,2) c) (0, - ½) d) (2, - ½) e) (- ½, - ½)

2. Encuentre el punto medio del segmento AB, si A y B tienen por coordenadas (- 6, 0) y (8, 6) respectivamente:

a) (- 10,0) b) (1,3) c) (- 6, 0) d) (- 10,3) e) (0, 10)

3. Uno de los extremos de un segmento de recta es (-2, -3) y su punto medio es (2,0), las coordenadas del otro extremo son:

a) (2, 3) b) (3, - 2) c) (4, 4) d) (5, 4) e) (6, 3)

4. Si Pm (-1,3) es el punto medio del segmento AB y B tiene por coordenadas B(8,6) entonces las coordenadas de A son:

a) (- 10, 0) b) (- 10, 3) c) (- 3, - 10) d) (0, 10) e) (10, 3)

5. ¿Cuál es el punto medio del segmento cuyos extremos son los puntos P1 (- b, - a) y P2(a, b)?

a) b) c) (0, 0) d)

7.3

Pendiente de una recta.

La pendiente es la inclinación que tiene una recta, es el cociente de la altura y la base. Podemos calcularla a partir de dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente queda determinada como:

Ejemplo.

1. Cuál es la pendiente de la recta que pasa por los puntos A (3, -1) y B (7, 2)

Nota: Te sugerimos realizar los siguientes ejercicios como medida de refuerzo para aprenderte las fórmulas. Te recomendamos verificar leyes de los signos, ya que es el error común en éste tipo de ejercicios.

Encuentre la distancia, la pendiente y el punto medio entre los puntos dados:

1) P (-5, 1) y Q (3, 7) 2) R (5, 7) y S (3, 1) 3) A (2, - 4) y B (- 4, 4)

4) C (-1, - 4) y D (3, 6) 5) G (0, 0) y H (- 6, -7) 6) T (- 2, 5) y S (6, 4)

7.4 Ecuación de la recta.

La recta esta determinada por una ecuación de primer grado; es decir, el exponente de las variables es 1. Su forma general es:

Ax + By + C = 0

Cuenta con 2 elementos principales, la pendiente (m) y su ordenada al origen (b).

Pendiente Ordenada al origen

Y con éstos datos obtenemos la forma Simplificada:

De la ecuación simplificada, consideramos y = 0, obtenemos un valor que llamaremos a (abscisa). Obteniendo la ecuación Simétrica:

Ejercicio 3:

1. La pendiente de la recta 2x + 4y - 5 = 0 es:

a) - 1/2 b) ½ c) - 4/5 d) 2 e) - 2

2. La pendiente de la recta 6x -2y +1 = 0 es:

a) - 1/2 b) ½ c) - 4/5 d) - 3 e) 3

3. La pendiente de la recta 6x - 3y + 1 = 0

a) - 1/2 b) ½ c) - 2 d) 2 e) 3

4. La pendiente y ordenada al origen de la recta 4(x - 1) + 2y = 0 son:

a) m = - 2, b = - 2 b) m = - 2, b = 2 c) m = 2, b = 2 d) m = 3, b = 2 e) m = 4, b = - 1

Ahora analizaremos algunos casos especiales para encontrar la ecuación de una recta:

Caso I. Si nos dan dos puntos A(x1, y1) y B (x2, y2); primero calculamos la pendiente y posteriormente utilizamos la ecuación:

... Ecuación Punto pendiente

Ejemplo.

Encuentre la ecuación de la recta formada por los puntos A (3, - 1) y B (7, 2)

Primero calcularemos la pendiente.

Posteriormente utilizaremos la ecuación punto pendiente, sustituyendo cualquiera de los dos puntos dados y la pendiente encontrada. Tomaremos A (3, - 1) y pendiente

y - (-1) = 3/4 (x - 3)

4 (y + 1) = 3 (x - 3)

4y + 4 = 3x - 9

- 3x + 4y + 4 + 9 = 0

- 3x + 4y + 13 = 0 ó

3x - 4y - 13 = 0 solución.

Ejercicio 4:

1. La ecuación de la recta que pasa por los puntos P(5, 0) Y Q (0, - 3) es:

a) 3x - 5y + 15 = 0 b) 3x - 5y - 15 = 0 c) 3x - 5y + 1 = 0

d) 5x - 3y -1 = 0 e) 5x + 3y - 1 = 0

2. La ecuación de la recta que pasa por los puntos C (-5, 0) y B (0, 6) es:

a) 6x + 5y + 30 = 0 b) 6x - 5y - 30 = 0 c) 5x + 6y + 30 = 0

d) 5x - 6y + 30 = 0 e) 6x - 5y + 30 = 0

3. ¿Cuál es la ecuación de la recta que pasa por los puntos (-2, - ½ ) y (-1/5 , 3)?

a) -35x - 18y + 61 = 0 b) 35x - 18y + 61= 0 c) - 35x + 18y + 61 = 0

...