Introduccion A La Fisica Del Estado Solido

“INTRODUCCION A LA FISICA DEL ESTADO SOLIDO”

Tema 1: Estructura cristalina

Un cristal ideal es cuando la repetición infinita de unidades estructurales es idéntica en el espacio. En los cristales más sencillos su unidad estructural es un solo átomo como el cobre, la plata, el oro, el hierro, el aluminio y los metales alcalinos.

Los vectores de traslación de una red son tres vectores de traslación fundamentales a_1, a_(2 ,) a_3 de forma que la distribución atómica parece la máxima en todos los aspectos, tanto cuando se examina desde el punto r como cuando se observa desde el punto

r^,= r + u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3

Siendo u_1, u_2 y u_3 números enteros y arbitrarios. El conjunto de puntos r^, definido r^,= r + u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3 para todos los valores de u_1, u_2 y u_3 definen una red.

La red y los vectores de traslación u_1, u_2 y u_3 se dice que son primitivos si dos puntos cualquiera r y r^, desde los cuales la distribución atómica tenga el mismo aspecto satisfacen siempre la expresión r^,= r + u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3 con una adecuada selección de números enteros u_1, u_2 y u_3 .

Frecuentemente utilizamos los vectores de traslación primitivos para definir los ejes cristalinos no primitivos cuando tienen una relación más sencilla con la simetría de las estructuras.

Se define una operación de traslación de la red como el desplazamiento de un cristal mediante un vector de traslación cristalino.

T= u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3

Los tipos fundamentales de redes pueden transportarse o suponerse sobre si mismas mediante la traslación de la red T y mediante otras diversas operaciones de simetría. Una operación de simetría típica es la rotación alrededor de un eje que pasa a través de un punto de la red estas pueden encontrarse redes en las que existen ejes de rotación de primero, segundo, tercer, cuarto y quinto orden que hace que la red coincida consigo misma después de realizar rotaciones de 2π, 2π/2, 22π/3, 2π/4 y 2π/6 radiantes o bien mediante múltiplos enteros de estas rotaciones.

No hay ninguna red que se trasforme en si misma bajo otras rotaciones, tales como 2 π/7 radianes o 2 π/5 radianes.

Las redes bidimensionales son la red oblicua que tiene valores arbitrarios u_1 y u_2 y es invariante bajo la rotación de π y 2 π radianes alrededor de cualquier punto de la red.

Las redes tridimensionales exigen cuatro diferentes tipos de redes.

Existen tres tipos de redes en el sistema cubico la red cubica simple (SC), la cubica centrada en el cuerpo (bcc) y la red cubica centrada en las caras (fcc).

Para la orientación de un plano cristalino se determina mediante tres puntos del plano con tal de que no sean coloniales. Si cada punto esta sobre un eje cristalino diferente, el plano puede especificarse dando las coordenadas de los puntos de las constantes de la red a_1, a_(2 ,) a_3 .

Las estructuras fcc y hcp están construidas por los planos de empaquetamiento compacto de átomos. Las estructuras difieren en la secuencia de apilamiento de los planos, teniendo la estructura fcc la secuencia ABCABC… mientras q la estructura hcp tiene la secuencia ABABAB.. Se conocen estructuras en las que la secuencia apilamiento de los planos de empaquetamiento compacto aleatorio.

Tema 2: Difracción por un cristal y red reciproca

La estructura de un cristal mediante la difracción de fotones, neutrones, y con menos frecuencia, de electrones. El ángulo bajo en el que se difractada onda depende principalmente de la estructura del cristal y de la longitud de onda de la radiación.

El primer pasó suministrar un espectro continuo amplio, el segundo origina líneas acusadas. Cuando se somete un átomo a la radiación electromagnética, los electrones atómicos pueden difundirla elásticamente por los átomos individuales de un cristal, da lugar a la refracción óptica ordinaria.

La deducción de Bragg de la condición de difracción da una indicación clara de la condición necesaria para que se obtenga la interferencia constructiva de las ondas dispersas en los puntos de la red.

Un cristal es invariante bajo cualquier traslación de la forma…

T= u_1 a_1 + u_2 a_2 + u_3 a_3, en donde u_1, u_2 y u_3 son enteros y a_1, a_(2 ,) a_3 son los ejes del cristal.

El análisis de Fourier dice que lo que tiene más importancia ahora para nosotros es que la densidad numérica electrónica n(r) es una función periódica de r, con periodos a_1, a_(2 ,) a_3 en las direcciones de los tres ejes del cristal así.

N(r + T) = N(r)

Dicha periodicidad crea una situación ideal para la aplicación del análisis de Fourier.

Para seguir adelante con el análisis de Fourier de la concentración de electrones debemos hallar los vectores G de la suma de Fourier ∑▒n_G para hacer esto existe un procedimiento poderoso, aunque un poco abstracto. El procedimiento forma la base teórica de gran parte de la física del estado solido, en donde el análisis de Fourier esta al orden del día.

Construyamos los vectores axiales b_1, b_(2 ,) b_3 de la red reciproca:

b_1=2π (a_2*a_3)/(a_1.a_2*a_3 ) ; b_2=2π (a_3*a_1)/(a_1.a_2*a_3 ) ; b_3=2π (a_1*a_2)/(a_1.a_2*a_3 )

El conjunto de vectores G de la red reciproca determina las posibles reflexiones de los rayos x.

La teoría de de la difracción, a saber, Δk= G, puede expresarse de otra manera mediante las llamadas ecuaciones de Laue. Estas ecuaciones son valiosas por su representación geométrica.

Tomemos el producto escalar, tanto Δk como G, sucesivamente con a_1, a_(2 ,) a_3.

a_1 * Δk= 2πv ; a_(2 )*Δk= 2πv_2 ; a_(3 )*Δk= 2πv_3

Estas ecuaciones tienen una interpretación sencilla. La primera ecuación a_1 * Δk= 2πv nos dice que Δk coincide con la generatriz de un cono determinado alrededor de la dirección de a_1 . la segunda ecuación nos dice que Δk también cae sobre un cono de eje a_2, y la tercera ecuación exige que a su vez Δk este sobre un cono de eje a_3.

Brillouin dio el enunciado de la condición de difracción que se utiliza mas ampliamente en la física del estado solido, lo que equivale a decir en la descripción de la teoría de bandas de la energía de los electrones y de las excitaciones elementales de otros tipos.

Se define una zona de Brillouin como una celda primitiva de Wigner-Seitz en la red reciproca, el valor de la zona de Brillouin consiste en que da una interpretación geométrica singular de la condición 2k*G=G^2 de la ecuación. Dividamos sus dos miembros por 4 para obtener

K*((_2^1)G) = ((_2^1)G )^2

Trabajemos en el espacio reciproco, el espacio k y de las G .

Los vectores de traslación primitivos de una red cubica

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