Introducción. Estados tensionales en sólidos elásticos

TEORÍA Introducción. Estados tensionales en sólidos elásticos

SÓLIDO ELÁSTICO

Aquel que ante un esfuerzo exterior se deforma y recupera su forma primitiva al cesar la causa exterior.

• Isotropía: sus propiedades físicas no dependen de la dirección en que se han medido en dicho cuerpo. Equivale a admitir la propiedad de igual elasticidad en todas las direcciones.
• Homogeneidad: equivale a considerar que una parte arbitraria del sólido posee idéntica composición y características que cualquier otra.
• Continuidad: supone que no existen huecos entre partículas ni distancias intersticiales.

Sólido verdadero: en general, las propiedades de sólido elástico no se cumplen, debido a la condición microscópica de la distribución de los átomos y moléculas. En base a resultados experimentales, puede considerarse macroscópicamente a un sólido deformable como isótropo, homogéneo y continuo.

RELACIONES ENTRE VARIABLES FUNDAMENTALES

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PRISMA MECÁNICO

Sólido engendrado por una sección plana S de área A cuyo centro de gravedad G describe una curva c llamada línea media, siendo el plano que contiene a S normal a la curva.

• Si el área es constante, el prisma es de sección constante
• Si el área varía, el prisma es de sección variable.

FUERZAS DE MASA Y FUERZAS DE SUPERFICIE

Fuerzas de masa: asociadas con el propio cuerpo en estudio y se distribuyen en toda la amplitud del mismo. No son consecuencia de un contacto directo con otros  cuerpos.  Se especifican en términos de fuerzas por unidad de volumen. Ejemplos: fuerzas gravitacionales, de inercia, magnéticas, etc.

Fuerzas de superficie: son una consecuencia del contacto físico entre dos cuerpos. Podríamos incluir las fuerzas que una superficie imaginaria dentro de un cuerpo ejerce sobre la superficie adyacente, lo que resulta muy práctico para establecer ecuaciones de equilibrio y otras.

CONCEPTO DE TENSIÓN

Sea P un punto de la sección y ∆𝑓 la fuerza resultante en un área ∆𝐴 en el entorno del punto y contenida en el plano 𝜋, definimos como tensión resultante a la relación:

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La tensión resulta ser un vector colineal con ∆𝑓 y su módulo da la magnitud de la fuerza por unidad de superficie ejercida en el punto.

VECTOR TENSIÓN

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Al variar los planos, cambia la distribución continua de fuerzas así como el área de la sección. De una forma general df variara en modulo y dirección, por lo que también serán distintos los vectores tensión.

Componentes intrínsecas

Las componentes intrínsecas del vector tensión son dos, según las direcciones normal (𝜎) y tangente (𝜏) al plano. Al ser las dos direcciones perpendiculares entre sí, se verifica que:

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El vector tensión se asocia a una superficie, lo que indica que no se pueden componer vectorialmente tensiones en un punto a no ser que todas se refieran a la misma superficie.

Tensor de tensiones

En su forma matricial se organizan las 9 componentes de tensiones. Por la ley de reciprocidad de las tensiones tangenciales (ley de Cauchy), resultan 6 componentes incógnitas y la matriz de tensiones simétrica.

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Vector de tensión

Planteando las condiciones de equilibrio para el tetraedro se obtiene:

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Donde [𝑇] es la matriz de tensiones, 𝑢⃗ el vector unitario normal al plano y 𝜌 el vector de tensión correspondiente a dicho plano.

TENSIONES Y DIRECCIONES PRINCIPALES

Caso particular: plano cuyo vector tensión es perpendicular al mismo Para que se cumpla el supuesto de perpendicularidad entre el vector tensión y el plano, debe verificarse la siguiente condición:

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Tensiones principales

Las tensiones principales son las raíces del polinomio característico, es decir, los autovalores de la matriz [𝑇]:

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Donde 𝐼1, 𝐼2,𝐼3 son invariantes independientes del sistema de referencia.

Invariante: indica que en un punto interior a un sólido elástico la suma de las tensiones normales según las direcciones de los ejes es constante.

Direcciones principales

Una vez conocidas las tres raíces 𝜎𝑖 , pueden llevarse al sistema de ecuaciones y obtenerse las direcciones principales, reemplazando una de las ecuaciones por aquella que nos garantiza el módulo unitario.

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Las tres direcciones principales son los auto vectores de la matriz [𝑇]:

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Sistema de referencia coincidente con las direcciones principales: La matriz de tensiones en un sistema coincidente con el triedro de las direcciones principales se reduce a su forma diagonal.

ELIPSOIDE DE TENSIONES DE LAMÉ: 

Es el lugar geométrico de los extremos de los vectores de tensión correspondientes a todos los planos que pasan por un punto. Se encuentra tomando como sistema de referencia el de las tensiones principales, y llamamos x, y, z a las componentes del vector tensión en dichas direcciones.

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• Si dos tensiones principales son iguales, el elipsoide es de revolución. En este caso está definida la dirección principal correspondiente a la tensión principal restante, que coincide con el eje de revolución del elipsoide, pero las otras dos están indeterminadas: cualquier dirección situada en el plano normal al eje de revolución es dirección principal.
• Si las tres son iguales, el elipsoide se reduce a una esfera: cualquier dirección es dirección principal. Por consiguiente, cualquier terna de ejes trirrectangulares constituye un sistema de ejes principales.

TENSIONES OCTAÉDRICAS

Son aquellas correspondientes a los planos que forman ángulos iguales con los tres ejes principales. Las componentes intrínsecas de los vectores tensión correspondientes a los planos octaédricos tienen el mismo valor.

Las componentes de los vectores normales son:

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La tensión normal octaédrica

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La tensión tangencial octaédrica

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ECUACIONES DE EQUILIBRIO

Las ecuaciones de equilibrio son las que traducen las condiciones necesarias de equilibrio en un sólido. Las mismas se obtienen a partir del siguiente proceso:

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