Medidas Y Unidades

LABORATORIO Nº 1

Medidas y Unidades

1º. Justificación.-

Las prácticas de laboratorio en el área de la Física, son importantes en las medidas que se busque determinar con exactitud los niveles mínimos de ajustes existentes en los diferentes procesos físicos ,con la finalidad de lograr mejores ajustes, tanto a nivel de Campo, como para mejorar la calidad de los ajustes de las cuevas. Es también muy importante para comprender, el ajuste de curvas por el mínimo cuadrado.

2º. Marco teórico.-

El ajuste de curvas consiste en encontrar una curva que contenga una serie de puntos y que posiblemente cumpla una serie de restricciones adicionales. Esta sección es una introducción tanto a la interpolación (cuando se espera un ajuste exacto a determinadas restricciones) y al ajuste de curvas/análisis de regresión (cuando se permite una aproximación).

Mínimos cuadrados.- Es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos. Específicamente, se llama mínimos cuadrados promedio (LMS) cuando el número de datos medidos es 1 y se usa el método de descenso por gradiente para minimizar el residuo cuadrado. Se puede demostrar que LMS minimiza el residuo cuadrado esperado, con el mínimo de operaciones (por iteración), pero requiere un gran número de iteraciones para converger.

Desde un punto de vista estadístico, un requisito implícito para que funcione el método de mínimos cuadrados es que los errores de cada medida estén distribuidos de forma aleatoria. El teorema de Gauss-Márkov prueba que los estimadores mínimos cuadráticos carecen de sesgo y que el muestreo de datos no tiene que ajustarse, por ejemplo, a una distribución normal. También es importante que los datos recogidos estén bien escogidos, para que permitan visibilidad en las variables que han de ser resueltas (para dar más peso a un dato en particular, véase mínimos cuadrados ponderados).

La técnica de mínimos cuadrados se usa comúnmente en el ajuste de curvas. Muchos otros problemas de optimización pueden expresarse también en forma de mínimos cuadrados, minimizando la energía o maximizando la entropía.

Supongamos que tenemos un conjunto de puntos que mostramos en la siguiente gráfica

De los puntos mostrados nos podemos dar cuenta que parece tener la forma de un polinomio de segundo grado de la forma:

|[pic] | |(1) |

Esta ecuación (1) puede usarse para representar el conjunto de valores obtenidos experimentalmente para la cual debemos determinar los valores de a 1, a 2, a 3, etc.

Para determinar estos valores utilizamos el siguiente procedimiento:

1. Establecer el criterio para determinar la ecuación que represente a los valores (obtenidos experimentalmente).

2. Escribir la ecuación que expresa el error o desviación entre el valor observado y los valores dados por la ecuación.

3. Habiendo obtenido la ecuación del error, minimizar dicho error.

Consideremos que los siguientes puntos [pic]son los resultados de una medición en el laboratorio, estos datos equivales al fenómeno físico estudiado.

Las relaciones entre dos magnitudes se representan en el plano. [pic]

Aquí se buscara determinar la ecuación que mejor se ajusta al conjunto de datos experimentales del fenómeno físico estudiado.

Se denominara ajuste de curvas, al hechote det3erminar con mayor precisión la relación matemática que mas ajusta a los resultados del fenómeno físico.

Para realizar este ajuste se elige entre las siguientes curvas que son las más comunes, por lo menos en física fundamental.

• Si la configuración de puntos se parece a una recta , se hará el ajuste a una recta de ecuación:

[pic]

• Si la configuración de puntos se parece a una parábola , el ajuste se hará a una parábola de ecuación:

[pic]

De esta forma, los puntos experimentales pueden tender a diferentes curvas, y los ajustes deben realizarse a estos mismos tipos, de ecuación genérica:

[pic]

Una vez elegido el tipo de curva para el ajuste se tiene que determinar las constantes de tal manera que individualicen a la mejor curva dentro de este tipo. Por ejemplo si se tuviera que ajustar a una parábola debemos determinar las constantes [pic]que mejor coincidan con los resultados obtenidos experimentalmente.

Por consiguiente, para la determinación de las constantes, emplearemos algunos métodos tales como el método de los mínimos cuadrados.

• Tres (03) hojas milimetradas.

• Un (01) lápiz de carbón.

• Una regla de 30 cm.

• Una (01) calculadora científica.

• Un (01) tajador.

• Un (01) borrador.

• Graficamos los datos en el papel milimetrado para saber con qué tipo de función se está trabajando.

• Identificamos la función, seguidamente se procede a hacer los cálculos para el ajuste de curvas.

• Seguidamente de hacemos los cálculos y así encontraremos las constantes, procederemos a plasmarlo en una ecuación general.

• Finalmente se pasa a graficar la función ya ajustada y comprobaremos asi si el trabajo realizado es correcto.

EJEMPLOS.

• Interpolación

• Análisis de regresión

• Modelos de regresión múltiple postulados y no postulados

• Mínimos cuadrados

4º INVESTIGUE DATOS DE ALGUNOS EXPERIMENTOS QUE PUEDEN SER AJUSTADOS A UNA RECTA, PARABOLA O EXPONENCIAL, Y HACER EL RESPECTIVO AJUSTE POR MINIMOS CUADRADOS

EJEMPLO1:

La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta éste están ligadas a través de una ley lineal:

l = (1/K)F

Con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.

El método más efectivo para determinar los parámetros a y b se conoce como técnica de mínimos cuadrados.

Consiste en someter el sistema a diferentes condiciones, fijando para ello distintos valores de la variable independiente x, y anotando en cada caso el correspondiente valor medido para la

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