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ALETAS

Sabemos por la ley de Newton de enfriamiento que la velocidad de transferencia de calor por convección es directamente proporcional al área superficial del cuerpo. Por lo que una manera para acelerar el proceso de transferencia de calor es aumentando esta área superficial. A estas superficies extendidas se les llama aletas.

Cuando se analizan las aletas se establece un estado estacionario sin generación de calor en la aleta y que la conductividad térmica k y el coeficiente de transferencia de calor por convección h de la aleta permanece constante.

ECUACION DE LA ALETA.

En las condiciones descritas anteriormente, la ecuación del balance de energía de la aleta que se muestra en la figura seria:

Qcond x=Qcond, x+∆x+Qconv (1)

Por la ley de enfriamiento de Newton sabemos que Qconv=hp∆xT-T∞ sustituyendo y dividiendo entre ∆x a (1) tenemos:

0=Qcond, x+∆x-Qcond, x∆x+hpT-T∞

Haciendo que ∆x tienda a cero, vemos que en el primer término tendríamos la definición de la derivada de la velocidad de transferencia de calor por conducción respecto a x. Por otro lado recordamos la ley de Fourier Qcond=-kAcdTdx y reconocemos que Ac y el perímetro p puede variar en x.

La ecuación general para una aleta es:

ddxkAcdTdx-hpT-T∞=0 2

En el caso de una aleta con sección transversal uniforme y definiendo a2 como a2 = (hp/kAc), tenemos que:

d2θdx2-a2θ=0 (3)

Donde θ=T-T∞ es el exceso de temperatura. La anterior es una ecuacion diferencial lineal homogénea de segundo orden y su solución general es:

θx=C1eax+C2e-ax

Donde las constantes se deben determinar por las condiciones de frontera.

Aleta infinitamente larga.

La temperatura en la punta de la aleta es igual a la del medio por lo tanto θL=0. Y si conocemos el exceso de temperatura en la base de la aleta b la solución a la ecuacion sería

θx=θbe-ax

De la cual se puede observar que:

Tx-T∞Tb-T∞=e-xhpkAc

Y se puede demostrar a partir de la Ley de Fourier que:

Qaleta larga=hpkAcTb-T∞

Punta de la aleta aislada.

Esto se expresa matemáticamente de la siguiente manera: dθdxx=L=0

Siguiendo un análisis parecido al anterior se pueden demostrar las siguientes ecuaciones para la variación de temperatura y la velocidad de transferencia de calor:

Tx-T∞Tb-T∞=coshm(L-x)coshml

Qpunta aislada=hpkAcTb-T∞tanhmL

Convección o convección y radiación combinadas desde la punta

Este análisis un muy complicado por lo que tiene que hacerse más sencillo. Las aletas sujetas a convección en las puntas se pueden tratar como aletas con puntas aisladas al reemplazar la longitud real de la aleta por la longitud corregida en las ecuaciones

Lc=L+Acp

Con lo que se puede calcular el área corregida al multiplicar la relación anterior por el perímetro P. la longitud corregida para aletas rectangulares y cilíndricas son respectivamente:

Lc rectangular=L+t2

Lc cilindrica=L+D4

EFICIENCIA DE LA ALETA

Ya se dijo que se puede suponer que la punta de la aleta está aislada si alargamos su longitud un poco, además podemos decir

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