Modulación Am

Modulación y demodulación Fm

Ejercicio Teórico 1.

El control automático de la velocidad crucero de un automóvil tiene el siguiente modelo de función de transferencia:

P(s)=V(s)/U(s) =1/(ms+b)

Teniendo en cuenta que la entrada al sistema es la fuerza u, y la salida es la velocidad ⱱ, y suponiendo un tiempo de muestreo T= 0.02 segundos, encuentre (a) la función de transferencia discreta en lazo abierto cuando se utiliza un retenedor de orden cero, y (b) determine la respuesta del sistema con realimentación unitaria ante una entrada escalón unitario.

función de transferencia discreta en lazo abierto cuando se utiliza un retenedor de orden

Solución.

Figura 1.

La figura 1 muestra el esquema general de un retenedor de orden cero acoplado a una planta para la cual se desea realizar una acción de control determinada. El procedimiento general para hallar a función de transferencia en tiempo discreto de un sistema de control, a través de la aplicación de un retenedor de orden cero, es buscar la manera de obtener una respuesta del sistema en tiempo discreto que se asemeje a la salida del sistema en tiempo continuo, tomando muestras de la señal y manteniéndolas para generar una señal por tramos que asemeje a una señal continua.

El primer paso para hallar la función de transferencia discreta del sistema es, a partir de la función de transferencia continua dada, hallar la función o ecuación original del sistema, para tal fin se realiza la expansión en fracciones parciales de la ecuación de transferencia en tiempo continuo dada, de la siguiente manera:

G(s) = (P(s))/s

G(s)=(1/(ms+b))/(s/1)

G(s)=1/s(ms+b) =A/s+B/(ms+b)

1=A(ms+b)+B(s)

1=Ams+Ab+B(s)

1=Ams+B(s)+Ab

1=s(Am+B)+Ab

En primer lugar, se analiza la ecuación cuando Am+b=0

1=s(Am+B)+Ab

1=s(0)+Ab

A=1/b

En segundo lugar se hace el análisis cuando Ab=1

1=s(Am+B)+1

0=s(Am+B)+1-1

0=(Am+B)

-Am=B

-1/b m=B

-m/b=B

G(s)=1/s(ms+b) =(1/b)/s+((-m)/b)/(ms+b)

Reescribiendo la ecuación anterior se tiene:

G(s)=1/s(ms+b) =1/bs-m/(b(ms+b))

Para hallar la función original del sistema, se hace uso de la transformada inversa de Laplace:

L={1/bs-m/(b(ms+b))}

L={1/b*1/s-1/b*m 1/((ms+b))}

L={1/b*1/s-1/b*m/((ms+b))}

Si en este momento se toma (b/m)=a

L=1/b (u(t)-1/(s+a))

El paso siguiente es hacer uso de la técnica de transformada z para hallar la función de transferencia en tiempo continuo, para el sistema de control automático de un automóvil:

Para (b/m)=a

X(z)=1/b [(z/(z-1))-(z/(z-e^(-at) ))]

X(z)=1/b [(z/(z-1))-(z/(z-e^(-at) ))](1-z^(-1))

X(z)=1/b [(z/(z-1))-(z/(z-e^(-at) ))]((z-1)/z)

X(z)=1/b [((z(z-e^(-at) )-z(z-1))/((z-1)(z-e^(-at))))]((z-1)/z)

X(z)=1/b [((z^2-ze^(-at)-z^2+z)/((z-1)(z-e^(-at))))]((z-1)/z)

X(z)=1/b [((-ze^(-at)+z)/((z-1)(z-e^(-at))))]((z-1)/z)

X(z)=1/b [((z(〖-e〗^(-at)+1))/((z-1)(z-e^(-at))))]((z-1)/z)

X(z)=1/b [((1〖-e〗^(-at))/((z-e^(-at))))]

X(z)=[((1〖-e〗^(-at))/(b(z-e^(-at))))]

X(z)=[((1〖-e〗^(-b/m 0.02))/b(z-e^(-b/m 0.02) ) )]

b) Determine la respuesta del sistema con realimentación unitaria ante una entrada escalón unitario.

El primer paso para desarrollar el inciso b del primer ejercicio teórico, es tomar la función de transferencia discreta, hallada en el inciso a de este mismo ejercicio, es decir:

X(z)=[((1〖-e〗^(-b/m 0.02))/b(z-e^(-b/m 0.02) ) )]

Y aplicar realimentación unitaria, para de esta manera obtener la función de transferencia del sistema en lazo cerrado discreta.

Por convención, la función de transferencia en lazo cerrado con realimentación unitaria se define de la siguiente manera:

G(z)=(X(Z))/(1+X(Z))

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