Probabilidad

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2 Segunda

Unidad Didáctica

"EXPERIMENTOS ALEATORIOS"

"CALCULO DE PROBABILIDADES"

2.1 Parte básica

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2.1.1 Experimentos aleatorios

Si buscamos en el diccionario la palabra "experimentar", significa percatarse de

algo por propia experiencia y llamamos "experimento" al efecto de experimentar. Los

experimentos pueden ser aleatorios o deterministas.

Aleatorio significa relativo a todo acontecimiento incierto, por

depender de la suerte o del azar, mientras que los deterministas son

aquellos que se caracterizan por el hecho de que las mismas causas

producen los mismos efectos.

A nosotros nos interesan los experimentos aleatorios y dejamos los experimentos

deterministas para que los estudiéis en Física.

Cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se

llama "suceso elemental" y al conjunto de todos los sucesos

elementales se le llama "espacio muestral" y suele representarse por

E.

EJEMPLO 2.1:

Sea el experimento "lanzar un dado y observar la puntuación de su cara

superior", Obtener el espacio muestral:

Solución:

E={1, 2, 3, 4, 5, 6}

Cualquier parte del espacio muestral se denomina suceso, por ejemplo:

"salir número par" = {12, 4, 6}

"salir número impar" = {1, 3, 5}

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Hay algunos sucesos especialmente importantes que pasamos a enumerar:

-"Suceso imposible": es el que no se verifica nunca y lo representamos por Ø.

- "Suceso seguro": es el que ocurre siempre, es decir, el espacio muestral.

- "Suceso contrario": el suceso contrario de A se verifica siempre que no se

de A y suele indicarse como AC.

- "Sucesos incompatibles": son dos sucesos que no pueden verificarse al

mismo tiempo.

- "Sucesos compatibles": son dos sucesos que pueden verificarse al mismo

tiempo.

2.1.2 Operaciones con sucesos

Unión de sucesos: si tenemos dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifica A ó

siempre que se verifica B. (Ver figura 2.1).

A B

A B

!

Figura 2.1: Representación gráfica de la UNIÓN

Intersección de sucesos: dados dos sucesos A y B de un mismo experimento

aleatorio, definimos A ! B como el suceso que se verifica siempre que se verifican A

y B al mismo tiempo. (Ver figura 2.2)

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A ! B

A B

Figura 2.2: Representación gráfica de la INTERSECCIÓN

EJEMPLO 2.2:

Un aficionado a los casinos tiene tiempo para jugar a la ruleta cinco veces a lo

sumo.

Cada apuesta es de 1000 pts. Empieza con 1000 pts. y deja de jugar cuando

pierda las 1000 pts. o cuando gane 3000 pts. Obtener el espacio muestral.

Solución:

El espacio muestral sería:

E = {P, GG, GPP, GPGG, GPGPG, GPGPP}

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EJEMPLO 2.3:

Se ha observado la distribución del sexo de los hijos en familias de tres hijos.

Sean los sucesos:

A: "el hijo mayor es varón"

B: "los dos hijos pequeños son varones"

¿Cuáles son los elementos de A y de B?

Solución

A = {VVV, VVH, VHV, VHH} B = {HVV, VVV}

EJEMPLO 2.4:

En una encuesta, los resultados del interrogatorio de cada persona se reflejan en

una tarjeta. En las tarjetas se consideran el sexo, la edad (mayor o menor de 30 años),

y la respuesta a la pregunta (Sí, No). Se pide:

a) El espacio muestral.

b) Formar los siguientes sucesos:

A: "Hombre menor de 30 años"

B: "Mujer"

C: "Persona mayor de 30 años que ha respondido sí"

Solución:

Para responder a todas las cuestiones, basta tener en cuenta el árbol anterior.

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2.1.3 Frecuencia y probabilidad

Vamos a tratar de establecer la idea de probabilidad como, límite de las

frecuencias. Lanzamos un dado perfectamente construido y suponemos que obtenemos

la siguiente distribución de frecuencias:

Nº de la cara frecuencia absoluta

1 27

2 25

3 32

4 27

5 33

6 36

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Completa la distribución con las frecuencias relativas. Dobla el número de tiradas

y observa que las frecuencias relativas tienden a estabilizarse en torno a un cierto

número. Este hecho es característico de los experimentos aleatorios y suele llamarse

"estabilidad de las frecuencias" y el número hacia el que tienden se llama probabilidad

del suceso. Esta probabilidad ha sido asignada después de realizar un experimento y se

conoce con el nombre de probabilidad "a posteriori".

2.1.3.1 Probabilidad de Laplace

En el supuesto de que todos los sucesos elementales tengan la misma probabilidad

(sucesos equiprobables) se define:

La probabilidad de un suceso A es el cociente entre el número de

casos favorables a la verificación del suceso y el número de casos

posibles.

P(A) =

Nº de casos favorables

Nº de casos posibles

Cuando asignamos la probabilidad a un suceso sin necesidad de experimentar, se

conoce como probabilidad "a priori".

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2.1.3.2 Propiedades de la probabilidad

* P(Ø) = 0

* P(E) =1

* P A ! Ac ( ) = 1 = P(A) + P Ac ( )

* 0 " P(A) " 1

2.1.3.3 Dependencia e independencia de sucesos

Disponemos de una urna con 10 bolas blancas y 10 bolas negras y consideramos

el siguiente experimento:

El = "sacar dos bolas, una a continuación de otra que devolvemos a la urna"

E2 = "hacemos lo mismo, pero no devolvemos a la urna".

Suponemos los siguientes sucesos:

A: "salir negra en la lª extracción".

B: "salir negra en la 2ª extracción"

En ambos experimentos, queremos calcular el suceso A ! B y calcular P(A !B):

a) Veamos qué ocurre cuando consideramos el experimento E1:

P(A) =

10

20

P(B) =

10

20

P(A !B) =

VR10,2

VR 20,2

=

102

20

2

=

1

4

Podemos observar que:

P(A !B) = P(A)P(B)

Diremos que los sucesos A y B son independientes.

...