Programa Métodos Numericos.

Universidad Distrital Francisco José de Caldas

Facultad Tecnológica

Programa académico de la asignatura métodos numéricos

Texto: Métodos Numéricos para Ingenieros

Autor(es): Steven C. CHAPRA & Raymond P. CANALE

Editorial: Mc Graw Hill Interamericana, México        ©: 2.002

Profesora: Gloria Andrea Cavanzo Nisso

Correo electrónico: gacavanzon@udistrital.edu.co

Justificación

La ciencia y la tecnología pretenden estudiar los fenómenos (naturales, sociales, etc.) mediante la descripción que de éstos se haga a través de los modelos matemáticos, es decir, por medio la modelación matemática de los mismos. El estudio especulativo de éstos permite no solo un conocimiento más profundo del fenómeno como tal, sino una mirada prospectiva más profunda de la problemática en cuestión.

Como la gran mayoría de los modelos matemáticos, que describen algunos procesos tanto naturales (físicos, biológicos, químicos, etc.) como sociales (económicos, demográficos, ecológicos, etc.) no pueden resolverse analíticamente, se hace necesario estudiar una rama de la matemática aplicada, cuyos límites no son del todo precisos, que se conoce como MÉTODOS NUMÉRICOS. De éstos se puede decir, de una forma más o menos rigurosa, que se ocupan de describir, analizar y crear algoritmos numéricos que permiten resolver los problemas matemáticos inherentes a la modelación de la realidad antes referida; involucrando, claro está, no solo cantidades numéricas sino una cierta precisión, ya que éstos, por su naturaleza, introducen el error propio del hecho de truncar o redondear los datos que en este proceso intervienen. Dicho de otra manera, los MÉTODOS NUMÉRICOS son técnicas mediante las cuales es posible resolver algunos problemas propios de la matemática aplicada lo cual no seria posible al hacer uso de los métodos analíticos clásicos. Aunque hay muchos tipos de estos métodos, todos ellos comparten la característica de llevar a cabo un buen número de largos, tediosos y complejos cálculos aritméticos. Es por ello que la informática, como un conjunto de conocimientos científicos y técnicas que hacen posible el tratamiento automático de la información, por medio de los computadores, no solamente ha facilitado su uso sino si no su desarrollo; convirtiéndose hoy por hoy en una asignatura indispensable en cualquier plan de estudios ya sea tecnológico o profesional.

Algunas otras razones por las que los estudiantes de Tecnología en Sistematización de Datos deben estudiar esta asignatura son las siguientes:

• Es una herramienta poderosa para la solución de problemas no solo con un gran número de ecuaciones y variables sino también de restricciones.
• Permiten manejar la no linealidad y resolver geometrías no solo complicadas sino comunes en la práctica de ingeniería.
• Ayuda no solo a entender la teoría básica, en la que se sustenta algunos paquetes comerciales, sino que permite desarrollar programas computacionales que sirven para resolver problemas para los cuales el uso de programas comerciales no es aconsejable.
• Son un medio para esforzar la comprensión de las matemáticas, ya que su función es convertir las matemáticas superiores en operaciones aritméticas básicas y de esta manera poder profundizar en los temas que de otro modo resultan muy oscuros.
• Cuando se desarrollan y aplican, satisfactoriamente, en la solución de problemas, se ve cómo las computadoras sirven para el desarrollo profesional de los ingenieros.

Toda esta perspectiva da como resultado un aumento en la capacidad de comprensión, entendimiento y aplicación de la ingeniería, por parte de los estudiantes del programa de Tecnología en Sistematización de Datos.

Objetivo general:

Familiarizar a los estudiantes del programa de Tecnología en Sistematización de Datos con una amplia clase de problemas de ciencia y tecnología que les permitan conseguir un dominio elemental pero sólido de los MÉTODOS NUMÉRICOS, lo cual les permite adquirir, desarrollar y consolidar una buena capacidad para plantear, programar y resolver los problemas propios de esta rama de la matemática aplicada. Es decir, proporcionar tanto el conocimiento básico y mínimo como el entrenamiento computacional necesario para que los estudiantes del programa de Tecnología en Sistematización de Datos no solo planteen, programen y resuelvan numéricamente algunos problemas de la matemática básica, muy comunes en la practica de la ingeniería, sino que evalúen las distintas soluciones numéricas de éstos y además sean capaces de identificar el tipo de problemas cuya solución puede obtenerse mediante la aplicación de algunos de los distintos métodos numéricos que a lo largo del curso se estudian. En cualquiera de estos casos, no solamente se hace énfasis en el uso del computador sino en los programas que para tales fines existen o se pueden crear.

Objetivos específicos:

1. Presentar los conceptos básicos y mínimos de los MÉTODOS NUMÉRICOS que permitan no solo conseguir un dominio elemental pero sólido de ellos sino además adentrarse en la formulación, programación y solución de algunos problemas propios de esta rama de la matemática aplicada.
2. Determinar una raíz real de una ecuación (algebraica o trascendente) con base en el conocimiento previo de un valor aproximado de ésta, haciendo uso de los métodos cerrados (gráficos, bisección, falsa posición, etc.) o abiertos (interacción simple de punto fijo, NEWTON-RAPHSON, secante, etc.). Y hacer lo propio con todas las raíces (reales o complejas) de un polinomio dado, haciendo uso de los métodos numéricos (MÜLLER, BAIRSTOW).
3. Plantear y resolver problemas con base tanto en las ecuaciones lineales como en los sistemas de ecuaciones lineales y valorar su aplicación en múltiples problemas de Ingeniería. Así mismo, deberá comprender, aplicar y evaluar los distintos métodos numéricos que, para resolver dichos problemas, se exponen.
4. Como el estudio del “cambio” en matemáticas lo aborda básicamente el Cálculo, se hace necesario comprender, aplicar y evaluar los conceptos, métodos y resultados que tanto la integración como la diferenciación numérica le brindan al estudiante del programa de Tecnología en Sistematización de Datos para resolver algunos problemas pertinentes a esta temática, propios de la Ingeniería.
5. Dado que básicamente hay dos tipos de problemas de ecuaciones diferenciales ordinarias, los que tienen condiciones iniciales y los que tienen valores en la frontera, y que además los métodos numéricos para resolverlos son significativamente diferentes, se hace necesario comprender, aplicar y evaluar los conceptos, métodos y resultados que tanto para unos como para otros le brinda esta rama de la matemática aplicada con miras a facilitar la resolución de los problemas que de este tipo se le presenten al Tecnólogo en Sistematización de Datos.

Contenido Programático:

1. Conceptos básicos

Tiempo estimado: 2.5 semanas, 5 sesiones o 10 horas

Objetivos:

• Exponer, ejemplificar y definir lo que es un modelo matemático simple y hacer lo propio con su solución tanto analítica como numérica.
• Exponer, ejemplificar y definir los conceptos tanto de cifra significativa, exactitud y precisión como de error de redondeo o error de truncamiento.
• Reconocer la diferencia que hay entre error relativo verdadero εv, error relativo aproximado εa y error aceptable εs y entender cómo los dos últimos sirven para terminar un cálculo iterativo.
• Comprender cómo se representan los números en las computadoras y como estas representaciones inducen errores de redondeo. En particular, reconocer la diferencia entre precisión simple y extendida.
• Enunciar, ejemplificar y utilizar tanto el Teorema de TAYLOR, como el primer y segundo teoremas del Valor Medio para Integrales.
• Exponer, ejemplificar y definir el concepto de residuo, en la expansión de la serie de TAYLOR, y hacer uso de éste para estimar los errores de truncamiento.
• Exponer y ejemplificar tanto el concepto de propagación del error como el de error total y hacer lo propio con otras fuentes de error como, por ejemplo, los provenientes de la equivocación, de la formulación y de la incertidumbre de los datos.

Competencias:

• Dados uno o varios problemas identifique con qué área, de los métodos numéricos estudiados, se relaciona la solución.
• Dada la solución numérica de un problema propuesto, haga las observaciones pertinentes acerca de los errores de cálculo cometidos.
• Determine una relación teórica para predecir el número de punto flotante más pequeño en una computadora digital, considerando un parámetro dado.
• Dada una serie convergente, haga un programa que calcule el valor de la suma para un número determinado de sumandos.
• Aproxime un polinomio mediante la Serie de TAYLOR y haga uso de la expansión de dicha serie para aproximar una función con un número dado de derivadas.
• Utilice la Serie de TAYLOR, de primer orden, para aproximar una función dada con diversos valores del exponente y del tamaño del incremento.

Contenido:

Modelo matemático simple.

• Solución analítica
• Solución numérica

Aproximación y errores de redondeo.

• Cifras significativas
• Exactitud y precisión
• Error

Serie de TAYLOR.

• El residuo en la expansión de la Serie
• Uso de la Serie para estimar los errores de truncamiento

Propagación del error.

• En funciones de una y varias variables
• Error total
• Otros errores

1. Raíces de ecuaciones

Tiempo estimado: 2.5 semanas, 5 sesiones o 10 horas

Objetivos:

• Comprender en qué consiste el método gráfico para obtener una aproximación de una raíz de una ecuación, es decir, discernir acerca de la interpretación gráfica de una raíz.
• Definir y ejemplificar en qué consiste el método de bisección. Además, hacer lo propio tanto con el criterio de paro como con la estimación del error.
• Comprender la interpretación gráfica del método de la falsa posición y discutir por qué, en general, éste es mejor que el método de bisección.
• Reconocer, analizar y ejemplificar la diferencia que hay entre los métodos cerrados y los métodos abiertos para la localización de las raíces.
• Emplear el método gráfico de las dos curvas para ejemplificar, diferenciar y precisar los conceptos de convergencia y de divergencia.
• Discutir y precisar el porqué los métodos cerrados siempre convergen mientras que los métodos abiertos algunas veces pueden divergir.
• Observar que la convergencia en los métodos abiertos es más segura, si el valor inicial está cercano a la raíz verdadera.
• Discutir y precisar los conceptos de convergencia lineal y convergencia cuadrática así como sus implicaciones en la eficiencia de los métodos de iteración, de punto fijo y de NEWTON-RAPHSON.
• Identificar y comprender las diferencias fundamentales entre el método de la falsa posición y el método de la secante y como estos se relacionan con la convergencia.
• Discutir y precisar los problemas que presentan las raíces múltiples y las modificaciones que se pueden hacer para reducir dichos problemas.
• Extender el método de NEWTON-RAPHSON, de una sola ecuación no lineal, con el propósito de resolver sistemas de ecuaciones no lineales.

Competencias:

• Utilice la gráfica de una función para comprender su comportamiento y por ende obtenga una “buena” aproximación del valor de la raíz de una ecuación dada.
• Dada una ecuación cuadrática, de coeficientes racionales, determine sus raíces reales por los siguientes métodos: gráfico, fórmula general, bisección (para localizar la raíz más grande o más pequeña con un error aceptable εs dado y utilice para tal propósito los siguientes datos como valores iniciales) y falsa posición (utilizando un número determinado de iteraciones con los mismos valores iniciales anteriores).
• Dada una ecuación, use una iteración simple de punto fijo para determinar su raíz y sepárela en dos partes para determinar su raíz gráficamente.
• Utilice el método de NEWTON-RAPHSON para calcular la raíz de una ecuación, empleando como valor inicial un punto dado.
• En el cálculo anterior, analice el error del método de NEWTON-RAPHSON. Es decir, mire si éste es convergente en forma cuadrática o, lo que es lo mismo, compruebe si el error es proporcional al cuadrado del error anterior.
• Muestre, a través de un ejemplo, un comportamiento deficiente o desventajoso del método de NEWTON-RAPHSON.
• Utilice el método de la secante para calcular la raíz de una ecuación; comenzando, con dos valores iniciales dados.
• Con el método estándar y el modificado de NEWTON-RAPHSON, evalúe la raíz múltiple de una ecuación dada. Use para ello como valor inicial un punto dado.
• Con el método de iteración de punto fijo determine las raíces de un sistema de ecuaciones no lineales. Inicie el cálculo con una pareja de valores dada.
• Con el método de NEWTON-RAPHSON determine las raíces de un sistema de ecuaciones no lineales. Inicie el cálculo con una pareja de valores dada.
• Utilice el método de MÜLLER para determinar la raíz de una ecuación no lineal de grado dado. Use para ello, como valores iniciales, los siguientes puntos.
• Utilice el método de BAIRSTOW para determinar la raíz de un polinomio dado de grado mayor que uno. Use para ello, como valores iniciales, los siguientes puntos e itere hasta un nivel especificado. 

Contenido:

Métodos cerrados.

• Gráficos
• Bisección
• Falsa posición

Métodos abiertos.

• Iteración simple de punto fijo
• NEWTON-RAPHSON
• Secante
• Raíces múltiples
• Sistemas de ecuaciones no lineales

Raíces de polinomios.

• Cálculos con polinomios
• Métodos convencionales
• Método de MÜLLER
• Método de BAIRSTOW
• Otros métodos

Aplicaciones a la Ingeniería.*

1. Ecuaciones algebraicas lineales

Tiempo estimado: 2.5 semanas, 5 sesiones o 10 horas

Objetivos:

• Comprender la interpretación gráfica de los sistemas singulares y mal condicionados y cómo se relacionan éstas con el determinante del sistema.
• Conocer y utilizar acertadamente la terminología que para este tema se utiliza, como por ejemplo: eliminación hacia delante, sustitución hacia atrás, ecuación pivote y coeficiente pivote.
• Analizar, precisar y ejemplificar las dificultades que se presentan en los métodos de eliminación, como son: la división por cero, los errores de redondeo, los sistemas mal condicionados y los sistemas singulares.
• Calcular el determinante del sistema por el método de la eliminación de GAUSS. 
• Incorporar algunas técnicas (como por ejemplo: uso de más cifras significativas, pivoteo o escalonamiento) al algoritmo de eliminación de GAUSS simple para evitar los problemas anteriores.
• Comprender, en términos de eficiencia, la diferencia que hay entre el método de eliminación de GAUSS y el de GAUSS-JORDAN.
• Estudiar una clase de métodos de eliminación conocida como: técnicas de descomposición LU, mostrando cómo el método de eliminación de GAUSS se implementa como una descomposición LU. 
• Comprender cómo incorporar el pivoteo y la inversión de matrices en un algoritmo de descomposición LU; como también presentar la versión de la eliminación gaussiana usando la descomposición LU.
• Presentar, aplicar y evaluar el algoritmo que implementa la descomposición LU, como también la descomposición de CROUT. 
• Calcular la inversa de una matriz, empleando el algoritmo de descomposición LU.
• Conocer el modo de interpretar los elementos de la matriz inversa al evaluar cálculos de respuesta al estímulo en Ingeniería.
• Comprender el modo de usar la matriz inversa y las normas, tanto de vectores como de matrices, para evaluar la condición de un sistema.
• Comprender, analizar y precisar cómo los sistemas de ecuaciones lineales, que se representan por medio de matrices diagonales y simétricas, pueden descomponerse y resolverse de manera eficiente.
• Comprender, analizar y precisar el porqué ciertos sistemas de ecuaciones lineales, cuyas matrices tienen una estructura particular (diagonal, simétrica, triangular inferior [L], triangular superior [U], etc.), pueden aprovecharse para desarrollar esquemas de solución eficientes.
• Comprender, analizar y precisar el porqué los métodos iterativos –el método de GAUSS-SEIDEL– son adecuados para resolver los sistemas de ecuaciones lineales grandes y cómo una ligera modificación de éste, conocida como Relajación, permite mejorar su convergencia.
• Presentar, aplicar y evaluar el algoritmo que permite ejecutar u operar el método de GAUSS-SEIDEL.
• Aplicar los métodos numéricos estudiados para resolver sistemas de ecuaciones lineales en algunos campos de la Ingeniería.

Competencias:

• Haciendo uso del método gráfico, describa cuándo un sistema de ecuaciones lineales no tiene solución, está mal condicionado o tiene una única solución. En este último caso resuelva, gráficamente, un sistema dado, de dos ecuaciones con dos incógnitas.
• Dadas unas matrices, calcule el valor de sus determinantes.
• Use el método de eliminación de incógnitas para resolver un sistema lineal dado, de dos ecuaciones con dos incógnitas, y diga cómo es éste con respecto al método de CRAMER. 
• Emplee el método de eliminación de GAUSS simple, para resolver un sistema lineal dado, de tres ecuaciones con tres incógnitas.
• Resuelva un sistema mal condicionado y luego, con una “pequeña” modificación de un coeficiente, recalcúlelo. Por qué se presenta tal discrepancia de resultados y qué le dice la prueba del error.
• Dado un sistema lineal, de tres ecuaciones con tres incógnitas, resuélvalo por el método de eliminación de GAUSS simple, eliminación de GAUSS con pivoteo parcial, GAUSS-JORDAN simple, GAUSS-JORDAN con pivoteo parcial.
• Dado un sistema lineal, de tres ecuaciones con tres incógnitas, obtenga su descomposición LU, basándose en la eliminación gaussiana y genere la solución final con eliminación hacia adelante y sustitución hacia atrás.
• Dada una matriz cuadrada de tamaño tres, emplee la descomposición LU para calcular su inversa.
• Dado un sistema lineal, de tres ecuaciones con tres incógnitas, resuélvalo usando, según el caso, alguno de los siguientes métodos: algoritmo de THOMAS, descomposición de CHOLESKY o el método de GAUSS-SEIDEL.
• Emplee la conservación de la masa para determinar las concentraciones en estado estacionario de un sistema de reactores. (Ingeniería Química y Bioingeniería).
• Encuentre las fuerzas y reacciones asociadas con una armadura estáticamente determinada. (Ingeniería Civil, Ingeniería Ambiental).
• Determine la corriente y el voltaje en algunos puntos de los circuitos con resistores. (Ingeniería Eléctrica, Ingeniería Electrónica).

Contenido:

Método de eliminación de GAUSS.

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