Propagación de las ondas terrestres

Tema 2: Propagación de las ondas terrestres

Clase 5: Propagación sobre tierra esférica: Visibilidad directa y efecto de la curvatura terrestre.

5.1 Introducción.

En las clases anteriores, como hemos visto, se ha considerado que las ondas de radio se propagan sobre una tierra plana, lo que es válido cuando se asumen ciertas condiciones que son aceptables para los fines prácticos. Estudiaremos ahora el efecto que produce en la radiopropagación el hecho real de que la tierra es esférica y las consecuencias que de ello se deriva para las aplicaciones de ingeniería en las radiocomunicaciones.

5.2 Alcance de visibilidad directa

Al hacer un análisis de la radiopropagación sobre la superficie esférica de la tierra, es necesario conocer, como cuestión fundamental, si las antenas transmisora y receptora se encuentran dentro del alcance de visibilidad directa. Por lo tanto determinemos primeramente este alcance para las antenas de alturas h_1 y h_2 situadas en los puntos A y B, a una distancia r, medida sobre la superficie de la tierra, tal y como se muestra en la Fig. 5.1

El alcance de visibilidad directa r_VD, está representado por el segmento (AB) ̅, que es tangente a la superficie de la tierra en el punto C. El radio de la tierra se representa por r_0.

Así tendremos que

r_VD=(AB ) ̅

=[(h_1+r_0 )^2-〖r_0〗^2 ]^(1⁄2)+[(h_2+r_0 )^2-〖r_0〗^2 ]^(1⁄2)

〖=(h_1^2+2r_0 h_1 )〗^(1⁄2)+(h_2^2+2r_0 h_2 )^(1⁄2)

=(2r_0 h_1 )^(1⁄2) (h_1/(2r_0 )+1)+(2r_0 h_2 )^(1⁄2) (h_2/(2r_0 )+1) (5.1)

Suponiendo que las alturas de las antenas son despreciables comparadas con el radio de la tierra, lo cual es cierto para el caso de antenas situadas en mástiles colocados en la superficie de la tierra o en plataformas navales o aéreas (a bordo de buques o de aeronaves), pero no para el caso de satélites o naves espaciales, tenemos que

h_1/(2r_0 ) ,h_2/(2r_0 ) ≪1 (5.2)

con lo que (5.1) toma la forma

r_VD=(2r_0 )^(1⁄2) (〖h_1〗^(1⁄2)+〖h_2〗^(1⁄2) ) (5_∙ 3)

Teniendo como radio de la Tierra el valor promedio de 6370 km, (5.3) se expresa por

r_VD=3,57(〖h_1〗^(1⁄2)+〖h_2〗^(1⁄2) ) (5.4)

Donde las alturas h_1, h_2, se dan en metros y el alcance e visibilidad directa se da en kilómetros.

En radiocomunicaciones y en radar, la distancia entre las dos antenas o entre la antena transceptora y el blanco, deben encontrarse dentro del alcance de visibilidad directa.

5.3 Las ecuaciones de interferencia al considerar la curvatura terrestre

En clases anteriores estudiamos como se determina el campo (intensidad de campo eléctrico) en la antena receptora, considerando una tierra imperfectamente conductora y plana. El problema fundamental se redujo al cálculo del factor de atenuación F y la aplicación del método de Shuleikin-Van del Pol.

Veremos ahora cuando se considera la esfericidad de la tierra. Consideremos la Fig.5.2 para el análisis que haremos a continuación.

La curvatura de la superficie de la tierra tiene dos efectos en la radiopropagación:

1) Para las mismas alturas de las antenas transmisora y receptoras, la diferencia ∆r de recorrido de los rayos, obtenida en (2.40) para el caso de la tierra plana, será diferente.

2) Se producirá el fenómeno de la divergencia de los rayos, es decir a un haz incidente de rayos paralelos corresponderá un haz reflejado divergente, como se muestra en la Fig. 5.3

Haciendo referencia a la Fig. 5.2, tendremos que, considerando un plano MN tangente en la superficie de la tierra en le punto de reflexión c, la intensidad de campo resultante en el punto receptor B, podrá ser obtenida aplicando la ecuación de Vvedensky ya vista en (2.41), sustituyendo esta vez las alturas reales h_1y h_2 por las alturas 〖h_1〗^' y 〖h_2〗^' de los puntos A, transmisor y B, receptor, al plano MN. Las alturas 〖h_1〗^' y 〖h_2〗^' se denominarán “alturas reducidas”. Debe notarse que los ángulos de incidencia y reflexión θ, así como los de rasanancia γ, son los mismos que en el caso de la tierra plana. Consideraremos, en lo que sigue, que el efecto de la divergencia, desde el punto de vista práctico, es despreciable.

Teniendo en cuenta lo visto en el epígrafe 5.2, para el punto C en el horizonte, resultará que las alturas reducidas de ambas antenas quedarán expresadas por

〖h_1〗^'=h_1-〖r_1〗^2/(2r_0 ) (5_∙ 4)

〖h_2〗^'=h_2-〖r_2〗^2/(2r_0 ) (5_∙ 6)

Es evidente que para poder determinar los valores de r_1 y r_2 es necesario conocer los valores 〖h_1〗^' y 〖h_2〗^'. Para ello vamos primero a obtener el valor del ángulo rasante γ:

De los triángulos OAC y OBC de la Fig. 5.2 tenemos

(r_0+h_1)/sin⁡(γ+〖90〗^° ) =r_0/sin⁡[〖180〗^°-(α+〖90〗^°+γ) ]

(r_0+h_1)/cos⁡γ =r_0/cos⁡(α+γ) (5.7)

Análogamente

(r_0+h_2)/cos⁡γ =r_0/cos⁡(β+γ) (5_∙ 8)

de donde

tan⁡γ=(cos⁡α-r_0/(r_0+h_1 ))/sin⁡α

tan⁡γ=(cos⁡β-r_0/(r_0+h_2 ))/sin⁡β (5_∙ 9)

Tanto la (5.8) como la (5.9) pueden simplificarse, teniendo en cuenta que para nuestro caso, r_0≫h_1, r_0≪h_2 y que los ángulos geocéntricos α y β son pequeños, así tendremos

r_0/(r_0+h_1 )≈1-h_1/r_0 (5_∙ 10)

r_0/(r_0+h_2 )≈1-h_2/r_0 (5_∙ 11)

cos⁡α≈1-α^2/2 (5_∙ 12)

cos⁡β≈1-β^2/2 (5_∙ 13)

De esta forma la ecuación exacta (5.9) se transforma, como puede ser demostrado, en

tan⁡γ=(h_1-〖r_1〗^2/(2r_0 ))/r_1

tan⁡γ=(h_2-〖r_2〗^2/(2r_0 ))/r_2 (5_∙ 14)

Supongamos la altura de una antena mayor que la otra, por ejemplo,

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