Reconocer la importancia de las matrices como elementos de almacenamiento de datos de cualquier índole, que se relacionan entre sí dando lugar a nuevas matrices, así como la simplicidad de su ejecución e interpretación.

UNIDAD I

                MATRICES

Objetivos específicos:

• Reconocer la importancia de las matrices como elementos de almacenamiento de datos de cualquier índole, que se relacionan entre sí dando lugar a nuevas matrices, así como la simplicidad de su ejecución e interpretación.
• Reconocer como se pueden cambiar los elementos de una matriz sentando las bases de algoritmos matriciales que permitirán resolver sistemas.
• Definir con un nombre especial a estas matrices que servirán más adelante para determinados algoritmos.
• Establecer las bases para el algoritmo del método de Gauss para calcular la inversa de una matriz.
• Calcular la inversa de una matriz.

Introducción.-     Es necesario dedicar la primer unidad al estudio de las matrices, dado el rol importante que estos entes matemáticos desempeñan en la solución de problemas de matemática, las ciencias e ingeniería.

Ejemplo.- Sea la tabla de posiciones del campeonato de fútbol de la facultad de Tecnología la siguiente:

Definición de Matriz.- Las matrices son arreglos rectangulares de números reales o complejos.

También se puede decir que una matriz es un arreglo ordenado de números. Los números en el arreglo se denominan elementos de la matriz. Las matrices generalmente se representan o denotan, con letras mayúsculas.

Ejemplo.-

[pic 1]

Como se puede ver en el ejemplo las matrices varían de tamaño, forma u orden. El tamaño de una matriz se lo especifica de la manera siguiente.

 [pic 2]

                                         Número de filas o líneas horizontales.                            [pic 3][pic 4][pic 5]

                                    Número  de  columnas  o  líneas verticales.[pic 6]

Para expresar en forma global una matriz se lo hace de la manera siguiente:

• Se especifica el nombre de la matriz, el tipo   de elemento que tiene y la forma de la matriz, es decir:

                      Tipo de elementos  

[pic 7]

                         [pic 8]   [pic 9][pic 10][pic 11]

           Indica el nombre.         Forma, tamaño, dimensión u orden.

Ejemplo.- Expresar las matrices del ejemplo anterior con la notación anteriormente indicada.

 [pic 12]   

Solución: ¿?

Elemento genérico.- Sea la matriz A ϵ R(mxn):

[pic 13]

El elemento genérico de esta matriz se lo representa simbólicamente de la siguiente forma:

[pic 14]

Donde [pic 15], es el elemento de la matriz A que se encuentra en la fila i y en la columna j. Al variar “i” entre 1 y m y “j” entre 1 y n  se van generando todos los elementos de la matriz A.  

De esta manera se expresa de manera genérica todos los elementos de una matriz, se  utiliza para las demostrar igualdades matriciales de manera elegante y clara.

Ejemplo.- Dada la matriz

                                  [pic 16]

1. Expresar la matriz en notación global.
2. Determinar h12, h32, h42.
3. Expresar el elemento genérico de la matriz.

Solución.- ¿?

Operaciones  Matriciales:

Suma de Matrices:

Definición.- Sean las matrices A y B ϵ R(mxn), entonces la suma de A con B es una matriz que se denota por [pic 17] y su elemento genérico se define por:

                        (a+b) ij =   aij + bij   ,      [pic 18]

 Resumen.- Esta operación se resume en sumar los elementos correspondientes entre sí.

Ejemplo.-  Sean las matrices A y B ϵ R(4x3)  determine:

                           [pic 19]

1. El elemento (a+b)32.
2. A+B

Solución.- ¿?

Multiplicación de una Matriz por un escalar:

Definición.- Sea la matriz A ϵ R(mxn) y el escalar [pic 20], entonces la multiplicación de la matriz A por el escalar k que se denota k.A ϵ R(mxn) y su elemento genérico se define por:     

                            [pic 21]

 Resumen.- Esta operación consiste en multiplicar por el escalar k todos los elementos de la matriz A.

Ejemplo.- Sean la matrices A, B ϵ R(3x3); determinar:

...