Recta De Euler

Recta de Euler

En todo triángulo no equilátero el ortocentro (O), el baricentro (G) y el circuncentro (K) están alineados, y, además, se cumple que la distancia del baricentro al ortocentro es el doble de la distancia del baricentro al circuncentro. La recta que los contiene se conoce como recta de Euler. Se llama así en honor al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783), quien descubrió este hecho a mediados del siglo XVIII.

Definiciones:

• Ortocentro (O): Punto donde se intersecan las tres alturas (o sus prolongaciones) de un triángulo. Altura de un triángulo es el segmento perpendicular desde un vértice a su lado opuesto.

• Baricentro (G): Punto donde se intersecan las tres medianas de un triángulo. Mediana es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

• Circuncentro (K): Punto donde se intersecan las tres mediatrices de un triángulo. Mediatriz es la recta perpendicular deun lado en su punto medio.

Demostración:

En un triángulo ABC, se determinan D como el punto medio del lado BC y E como el punto medio del lado CA. Entonces AD y BE son medianas que se intersecan en el baricentro G. Trazando las perpendiculares por D y E se localiza el circuncentro O.

A continuación se prolonga la recta OG (en dirección a G) hasta un punto P, de modo que PG tenga el doble de longitud de GO (figura 1).

Al ser G baricentro, divide a las medianas en razón 2:1; es decir: AG=2GD. De este modo

.

Por otro lado, los ángulos AGP y DGO son opuestos por el vértice y por tanto iguales. Estas dos observaciones permiten concluir que los triángulos AGP y DGO son semejantes.

Pero de la semejanza se concluye que los ángulos PAG y ODG son iguales, y de este modo AP es paralela a OD. Finalmente, dado que OD es perpendicular a BC, entonces AP también lo será; es decir, AP es la altura del triángulo.

...