Trabajo Colaborativo 1 Calculo Integral

TRABAJO COLABORATIVO 2

Calculo Integral

Tutor

Jackson Ariel Urrutia Chala

Calculo integral

Grupo

100411_209

Universidad Nacional Abierta y a distancia (Unad)

Escuela de ciencias básicas tecnologías e ingenierías ECBTI

Colombia, 2013

INTRODUCCION

Con la elaboración de trabajo detallaremos y aplicaremos los conceptos de los métodos de integración, nos aventuraremos en temas como; Integración por cambio de variable, integración por racionalización, Integrales por sustitución trigonométrica caso I. En el tema de integración por cambio de variable observaremos en cambio de variable que es una técnica que nos permite pasar de una ecuación o integral complicada a otra más sencilla. Integración por racionalización; son muy metódicas en su resolución bastaría un ejercicio de cada tipo para que nosotros adquiéranos el conocimiento necesario, para dar solución a las temáticas que se puedan presentar. Las integrales por sustitución trigonométricas, en nuestro caso puntual aplicaremos el caso I, en este caso solo la podemos utilizar en situación especiales, como cuando se presenten expresiones como sustitución de la forma.

La primera forma de desarrollar integrales, es por medio de las integrales inmediatas, donde se resuelven utilizando el principio de la antiderivada, La técnica de sustitución por cambio de variable, se utiliza cuando la función que conforma el integrando es tal que una parte es la derivada de la otra parte y las dos están en forma de producto, Por un teorema de álgebra avanzada se afirma que toda fracción racional; es decir, el cociente de dos polinomios, se puede descomponer en suma de fracciones racionales más simples. Para poder desarrollar las integrales debemos manejar bien las derivadas, realizar muchos ejercicios sobre un papel, tener algo de fortuna, conocer algunas integrales directas y aplicar las técnicas de integración que se analizan en la unidad 2

Al resolver una integral se pueden presentar dos casos:

• Necesitamos obtener una antiderivada si la integral es indefinida, actividad que nos ocupa en esta unidad.

• Encontrar un número (escalar) si la integral es definida

Debido a la complejidad de las aplicaciones, de los ejercicios de aplicación y de los mimos problemas teóricos, aparecen integrales que no es posible solucionar por los teoremas básicos de las antiderivadas; por lo tanto requerimos de técnicas o metodologías apropiadas para su solución, tal como vamos a detallarlas en las siguientes lecciones.

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

CALCULO INTEGRAL

Si su grupo colaborativo termina en los dígitos 9 o 0 realice los siguientes ejercicios:

21. para cada una de las siguientes lecciones.

Lección N°20 Integración por cambio de variable.

El método de integración por sustitución o cambio de variable se basa en la derivada de la función compuesta.

Ej1:

∫▒dx/(x√(1-〖(lnx)〗^2 ))

u=lnx

du=dx/x

= ∫▒〖du/√(〖1-u〗^2 )=〖sen〗^(-1) u+c=〖sen〗^(-1) (lnx)+c〗

Ej2:

∫▒〖f´(u).u´dx=F(u)+C〗

Para cambiar de variable identificamos una parte de lo que se va a integrar con una nueva variable t, de modo que se obtenga una integral más sencilla.

Pasos para integrar por cambio de variable.

∫▒〖f´(u).u´dx〗

1. ° Se hace el cambio de variable y de diferencia en los términos:

t=u

dt=u´dx

Se despeja u y dx, sustituyendo en la integral;

∫▒〖f´(t).u´dt/u=∫▒〖f´(t)dt〗〗

2° Si la integral resultante es más sencilla integramos:

∫▒〖f´(t).dt=f(t)+C〗

3° Se vuelve a la variable inicial.

f(t)+C=f(u)+C

Tenemos el siguiente ejercicio:

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗

Entonces

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗=∫▒〖sent〗^4/√(〖〖(1-sen〗^2 t)〗^3 ) cost dt = ∫▒〖〖(-1cos〗^2 t)〗^2/(〖cos〗^2 t) dt=

=∫▒〖(〖1-2cos〗^2 t+〖cos〗^4 t)/(〖cos〗^2 t) dt=∫▒〖dt/(〖cos〗^2 t)-2∫▒〖dt+ ∫▒〖〖cos〗^2 td= 〗〗〗〗

=∫▒〖dt/(〖cos〗^2 t)-2∫▒〖dt+∫▒(1+cos2t)/2 dt=〗〗

tgt-2t+1/2 t+1/4 sen2t+C =tgt+1/4 sen2t-3/4 t+C

∫▒〖x^4/√(〖〖(1-x〗^2)〗^3 ) dx〗=tg(arc senx)+x.√(〖1-x〗^2 )- 3/4 arc sen x+C

Lección N°21 Integración por Racionalización

Ej1:

Tenemos el siguiente ejercicio:

∫▒〖(〖cos〗^3 x)/(〖sen〗^2 x) dx= ∫▒(〖(1-sen〗^2 x)cosxdx)/(〖sen〗^2 x)= [(t=senx)¦(dt=cosxdx)]=∫▒〖〖1-t〗^2/t^2 dt〗〗

=(-1)/t-t=(-1)/sent-sent

Ej2:

∫▒√(1+x)/x= ∫▒(√(1+x) √(1+x))/(x√(1+x))= ∫▒(x+1)dx/(x√(1+x))=∫▒〖(1+1/x〗)dx/√(1+x)=∫▒dx/√(1+x)+ ∫▒dx/(x√(1+x))=2√(x+1)+∫▒dx/(x√(1+x))→

u=√(1+x)

du=dx/(2√(1+x))

u^2=x+1→x=u^2-1

2√(x+1)+2∫▒du/((u-1)(u+1))=2√(x+1)+2[∫▒(1⁄2 du)/(u-1)- ∫▒(1⁄2 du)/(u+1)]=

2[ln(u-1)^(1⁄2)-ln(u+1)^(1⁄2) ]=2√(x+1)+ln[(1-√(x+1))/(1+√(x+1))]+c

...